Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Tập 1 KNTT Bài 6. Vectơ trong không gian có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng (ảnh 1)

Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AC và MN = \(\frac{1}{2}\)AC.

Vì PQ là đường trung bình của tam giác ADC nên NP // AC và NP = \(\frac{1}{2}\)AC.

Do dó, MN // AC và MNPQ là hình bình hành.

Theo đề bài, G là giao điểm của MNPQ là hình bình hành và G là giao điểm MP và NQ nên G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó.

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right)\) = \(2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GP} \) = 2\(\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} } \right)\) = 2.\(\overrightarrow 0 \) = \(\overrightarrow 0 \).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:

a) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} \);

b) \(\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {B'C'} \);

c) \(\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AC'} \).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a: a) vecto AC . vecto B'D'; (ảnh 1)

a) Do hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'D'} \) vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} \) = 0

b) Ta có: \(\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {B'C'} \) = \(\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} \) = BD.BD.cos45° = a.a\(\sqrt 2 \).cos45° = a².

c) Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AC'} \) = \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'} \)

= \(\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

= \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

= 0 + AB.AC.cos45° = a.a\(\sqrt 2 \).\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) = a².

Câu 2

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = 1 và AA' = 2. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) \(\overrightarrow {BD} \);

b) \(\overrightarrow {CD'} \);

c) \(\overrightarrow {AC'} \).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = 1 và AA' = 2. Tính độ dài của các vectơ sau: a) vecto BD; b) vecto CD'; c) vecto AC'. (ảnh 1)

a) Ta có tam giác ABD vuông tại cân tại A và AB = AD = 1,

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\) = BD = \(\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \)= \(\sqrt 2 \).

b) Tam giác CDD' vuông tại D có CD = AB = 1, DD' = AA' = 2.

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {CD'} } \right|\) = CD' = \(\sqrt 5 \).

c) Do AB = AD = 1 nên đáy ABCD là hình vuông, suy ra AC = BD = \(\sqrt 2 \).

Tam giác ACC' vuông tại C, có AC = \(\sqrt 2 \) và CC' = 2.

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|\) = AC' = \(\sqrt {C{{C'}^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt 6 \).

Câu 3