Câu hỏi:
22/08/2024 834
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 12 Tập 2 KNTT Bài tập ôn tập cuối năm có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.
Ta có: y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = \( - x - 1 - \frac{1}{x}\)
⇒ y' = −1 + \(\frac{1}{{{x^2}}}\) = \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).
Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).
Các giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x - 1} \right)} \right]\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \)\(\left( { - \frac{1}{x}} \right)\) = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \). Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b)
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) và đường thẳng d: y = −2x + m là nghiệm của phương trình:
\( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = −2x + m
⇔ x2 – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)
Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.
Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x1; −2x1 + m) và
B(x2; −2x2 + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:
AB2 = (x1 – x2)2 + [(−2x1 + m) – (−2x2 + m)]2
= (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2
= 5(x1 – x2)2
= 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2].
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\).
⇒ AB2 = 5[(m + 1)2 + 4] = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20 ∀m.
Vậy AB ≥ 2\(\sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra khi m = −1.
Lúc này phương trình (1) là x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.
Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).
Đồ thị hàm số như sau:
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
B. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
C. Đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).
D. Hàm số có hai cực trị.
Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
B. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
C. Đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).
D. Hàm số có hai cực trị.
Xem đáp án »
22/08/2024
3,910
Câu 2:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {BC} \).
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {BC} \).
Xem đáp án »
22/08/2024
1,140
Câu 3:
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất \(\frac{1}{2}\) là cùng giới tính. Thống kê cho thấy 34% cặp song sinh cùng là trai và 30% cặp song sinh cùng là gái.
a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.
b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này cặp song sinh cùng trứng.
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất \(\frac{1}{2}\) là cùng giới tính. Thống kê cho thấy 34% cặp song sinh cùng là trai và 30% cặp song sinh cùng là gái.
a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.
b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này cặp song sinh cùng trứng.
Xem đáp án »
22/08/2024
1,109
Câu 4:
Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}.\)
B. \(y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}.\)
C. \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
D. \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}.\)
Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}.\)
B. \(y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}.\)
C. \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
D. \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}.\)
Xem đáp án »
22/08/2024
763
Câu 5:
a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha + 1}}\).
a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\).
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha + 1}}\).
Xem đáp án »
22/08/2024
654
Câu 6:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 – 2.
b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x3 – 3x2 + 5 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hệ số góc lớn nhất.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 – 2.
b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x3 – 3x2 + 5 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hệ số góc lớn nhất.
Xem đáp án »
22/08/2024
491
về câu hỏi!