Câu hỏi:
22/08/2024 136a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.
Ta có: y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = \( - x - 1 - \frac{1}{x}\)
⇒ y' = −1 + \(\frac{1}{{{x^2}}}\) = \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).
Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).
Các giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x - 1} \right)} \right]\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \)\(\left( { - \frac{1}{x}} \right)\) = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \). Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b)
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) và đường thẳng d: y = −2x + m là nghiệm của phương trình:
\( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = −2x + m
⇔ x2 – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)
Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.
Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x1; −2x1 + m) và
B(x2; −2x2 + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:
AB2 = (x1 – x2)2 + [(−2x1 + m) – (−2x2 + m)]2
= (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2
= 5(x1 – x2)2
= 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2].
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\).
⇒ AB2 = 5[(m + 1)2 + 4] = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20 ∀m.
Vậy AB ≥ 2\(\sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra khi m = −1.
Lúc này phương trình (1) là x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.
Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).
Đồ thị hàm số như sau:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
B. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
C. Đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).
D. Hàm số có hai cực trị.
Câu 2:
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất \(\frac{1}{2}\) là cùng giới tính. Thống kê cho thấy 34% cặp song sinh cùng là trai và 30% cặp song sinh cùng là gái.
a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.
b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này cặp song sinh cùng trứng.
Câu 3:
Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}.\)
B. \(y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}.\)
C. \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
D. \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}.\)
Câu 4:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA = AB = BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} \) bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).
B. a2.
C. −a2.
D. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
Câu 6:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {BC} \).
về câu hỏi!