a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = \( - x - 1 - \frac{1}{x}\)

       ⇒ y' = −1 + \(\frac{1}{{{x^2}}}\) = \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\)

          y' = 0 ⇔ \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ 1 – x² = 0 ⇔ x = ±1.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).

Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).

Các giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x - 1} \right)} \right]\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \)\(\left( { - \frac{1}{x}} \right)\) = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \). Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b)

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) và đường thẳng d: y = −2x + m là nghiệm của phương trình:

\( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) = −2x + m

⇔ x² – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)

Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.

Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x₁; −2x₁ + m) và

B(x₂; −2x₂ + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:

AB² = (x₁ – x₂)² + [(−2x₁ + m) – (−2x₂ + m)]²

        = (x₁ – x₂)² + 4(x₁ – x₂)²

        = 5(x₁ – x₂)²

        = 5[(x₁ + x₂)² – 4x₁x₂].

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\).

⇒ AB² = 5[(m + 1)² + 4] = 5(m + 1)² + 20 ≥ 20 ∀m.

Vậy AB ≥ 2\(\sqrt 5 \).

Dấu “=” xảy ra khi m = −1.

Lúc này phương trình (1) là x² – 1 = 0 ⇔ x = ±1.

Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).

Đồ thị hàm số như sau: