Câu hỏi:
22/08/2024 21Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.
a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao của hình chóp.
b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a)
Xét tam giác vuông SHN, ta có: HN = SH.cotα = xcotα.
MN = 2HN = 2xcotα.
Thể tích khối chóp là V = \(\frac{1}{3}M{N^2}.SH = \frac{4}{3}{x^3}{\cot ^2}\alpha .\)
Xét tam giác SHN có \(\widehat {HSN}\) = 90° − α.
Trong tam giác IPH vuông tại P, có SI = \(\frac{{IP}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{R}{{\cos \alpha }}\).
Ta có: SH = HI + IS = R + \(\frac{R}{{\cos \alpha }}\)
⇒ cosα = \(\frac{R}{{x - R}}\). Suy ra sin2α = 1 – cos2α = 1 − \(\frac{{{R^2}}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - 2Rx}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}}\);
cot2α = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{R^2}}}{{x\left( {x - 2R} \right)}}\).
Từ đó ta được V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\).
b) Xét hàm số f(x) = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\) với x > 2R.
Ta có: f'(x) = \(\frac{{12{R^2}{x^2} - 48{R^3}x}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}} = \frac{{12{R^2}x\left( {x - 4R} \right)}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}}\);
f'(x) = 0 ⇔ \(\frac{{12{R^2}x\left( {x - 4R} \right)}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 4R.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 2R} V = \frac{{32}}{3}{R^3}\) khi x = 4R.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
B. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
C. Đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).
D. Hàm số có hai cực trị.
Câu 2:
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất \(\frac{1}{2}\) là cùng giới tính. Thống kê cho thấy 34% cặp song sinh cùng là trai và 30% cặp song sinh cùng là gái.
a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.
b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này cặp song sinh cùng trứng.
Câu 3:
Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}.\)
B. \(y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}.\)
C. \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
D. \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}.\)
Câu 4:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = \( - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Câu 5:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA = AB = BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} \) bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).
B. a2.
C. −a2.
D. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
Câu 7:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {BC} \).
về câu hỏi!