Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.
a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao của hình chóp.
b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?
Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.
a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao của hình chóp.
b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)
Xét tam giác vuông SHN, ta có: HN = SH.cotα = xcotα.
MN = 2HN = 2xcotα.
Thể tích khối chóp là V = \(\frac{1}{3}M{N^2}.SH = \frac{4}{3}{x^3}{\cot ^2}\alpha .\)
Xét tam giác SHN có \(\widehat {HSN}\) = 90° − α.
Trong tam giác IPH vuông tại P, có SI = \(\frac{{IP}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{R}{{\cos \alpha }}\).
Ta có: SH = HI + IS = R + \(\frac{R}{{\cos \alpha }}\)
⇒ cosα = \(\frac{R}{{x - R}}\). Suy ra sin2α = 1 – cos2α = 1 − \(\frac{{{R^2}}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - 2Rx}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}}\);
cot2α = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{R^2}}}{{x\left( {x - 2R} \right)}}\).
Từ đó ta được V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\).
b) Xét hàm số f(x) = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\) với x > 2R.
Ta có: f'(x) = \(\frac{{12{R^2}{x^2} - 48{R^3}x}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}} = \frac{{12{R^2}x\left( {x - 4R} \right)}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}}\);
f'(x) = 0 ⇔ \(\frac{{12{R^2}x\left( {x - 4R} \right)}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 4R.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 2R} V = \frac{{32}}{3}{R^3}\) khi x = 4R.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Gọi A là biến cố: “Cặp sinh đôi là song sinh cùng trứng”
B là biến cố: “Cặp sinh đôi có cùng giới tính”.
Theo đề bài, ta có: P(B | A) = 1, P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{1}{2}\) và P(B) = 0,34 + 0,3 = 0,64.
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(B) = P(A).P(B | A) + P(\(\overline A \)).P(B | \(\overline A \))
⇔ 0,64 = P(A).1 + (1 – P(A)).\(\frac{1}{2}\)
⇔ 0,64 = P(A) – \(\frac{1}{2}\)P(A) + \(\frac{1}{2}\)
⇔ 0,14 = \(\frac{1}{2}\)P(A)
⇔ P(A) = 0,28.
Vậy xác suất để cặp sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng bằng 0,28.
b) Xác suất để chọn được cặp sinh đôi cùng trứng biết rằng cặp sinh đôi đó cùng giới tính là P(A | B).
Theo công thức nhân xác suất, ta có: P(AB) = P(A).P(B | A).
Ta có, P(A) = 0,28. Theo giả thiết P(B | A) = 1.
Do đó, P(AB) = P(A).P(B | A) = 0,28.
Lại có P(B) = 0,34 + 0,3 = 0,64.
Như vậy, P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,28}}{{0,64}} = 0,4375\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Kí hiệu G là con gái, T là con trai.
Gọi A là biến cố: “Cả hai là con gái”.
B là biến cố: “Người con đầu là con gái”.
Lúc này, P(A | B) là xác suất để chọn được gia đình có hai con gái trong đó người con đầu là con gái.
Ta có: B ={GT; GG} ⇒ n(B) = 2;
AB = {GG} ⇒ n(AB) = 1.
Vậy P(B) = \(\frac{1}{2}\), P(AB) = \(\frac{1}{4}\) ⇒ P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) = \(\frac{1}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập