Câu hỏi:
25/08/2024 48
Người ta chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau như sau:
– Trên đường tròn (O; R), lấy điểm A tuỳ ý;
– Vẽ một phần đường tròn (A; R) cắt (O; R) tại B và C;
– Vẽ một phần đường tròn (C; R) cắt (O; R) tại E (khác A);
– Vẽ một phần đường tròn (E; R) cắt (O; R) tại F (khác C);
– Vẽ một phần đường tròn (F; R) cắt (O; R) tại D (khác E).
Nối A với B, B với D, D với F, F với E, E với C, C với A, ta được lục giác ABDFEC.
Chứng minh:
a) Lục giác ABDFEC là lục giác đều;
b) AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R);
c) Các tứ giác ACEF, ABDC, BECA đều là hình thang cân.
Người ta chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau như sau:
– Trên đường tròn (O; R), lấy điểm A tuỳ ý;
– Vẽ một phần đường tròn (A; R) cắt (O; R) tại B và C;
– Vẽ một phần đường tròn (C; R) cắt (O; R) tại E (khác A);
– Vẽ một phần đường tròn (E; R) cắt (O; R) tại F (khác C);
– Vẽ một phần đường tròn (F; R) cắt (O; R) tại D (khác E).
Nối A với B, B với D, D với F, F với E, E với C, C với A, ta được lục giác ABDFEC.
Chứng minh:
a) Lục giác ABDFEC là lục giác đều;
b) AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R);
c) Các tứ giác ACEF, ABDC, BECA đều là hình thang cân.
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Nối OA, OB, OC, OD, OE, OF.
⦁ Từ giả thiết ta có sáu cung AB, AC, CE, EF, FD, DB bằng nhau nên \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \widehat {COE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOD} = \widehat {DOB}.\)
Xét ∆AOB và ∆BOD có:
OA = OB; \(\widehat {AOB} = \widehat {BOD},\) OB = OD.
Do đó ∆AOB = ∆BOD (c.g.c), suy ra AB = BD (hai cạnh tương ứng).
Mặt khác, ta có AB = AC = CE = EF = FD = R.
Nên AB = AC = CE = EF = FD = DB. (1)
⦁ Ta có \(\widehat {AOB} + \widehat {AOC} + \widehat {COE} + \widehat {EOF} + \widehat {FOD} + \widehat {DOB} = 360^\circ \)
Suy ra \(6\widehat {AOB} = 360^\circ ,\) do đó \(\widehat {AOB} = 60^\circ .\)
Xét ∆AOB có OA = OB và \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) nên ∆AOB là tam giác đều.
Do đó \(\widehat {OAB} = 60^\circ .\)
Chứng minh tương tự, ta cũng có ∆OAC đều nên \(\widehat {OAC} = 60^\circ .\)
Khi đó, \(\widehat {BAC} = \widehat {OAB} + \widehat {OAC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ .\)
Tương tự, ta chứng minh được:
\(\widehat {BAC} = \widehat {ACE} = \widehat {CEF} = \widehat {EFD} = \widehat {FDB} = \widehat {DBA} = 120^\circ .\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có ABDFEC là lục giác đều.
b) Do ABDFEC là lục giác đều nên ba đường chéo AF, BE, CD cắt nhau tại O.
Do đó AF, BE, CD là các đường kính của đường tròm (O; R).
c) Chứng minh tương tự ở câu a, ta chứng minh được ∆AOC, ∆OCE là các tam giác đều. Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {OCE} = 60^\circ .\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AO // CE hay AF // CE.
Tứ giác ACEF có AF // CE nên là hình thang.
Lại có \[\widehat {ACE} = \widehat {FEC} = 120^\circ \] nên ACEF là hình thang cân.
Chứng minh tương tự, ta cũng có các tứ giác ABDC, BECA đều là hình thang cân.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh:
AC + AD + BD + BE + EC > AB + BC + CD + DE + EA.
Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh:
AC + AD + BD + BE + EC > AB + BC + CD + DE + EA.
Xem đáp án »
25/08/2024
320
Câu 2:
Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) Các tam giác AEN và CMB là các tam giác cân;
b) AN là phân giác của góc EAM;
c) AB.BC = BM.AC.
Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) Các tam giác AEN và CMB là các tam giác cân;
b) AN là phân giác của góc EAM;
c) AB.BC = BM.AC.
Xem đáp án »
25/08/2024
196
Câu 3:
Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trong tam giác. Kẻ DE song song với AB (E thuộc cạnh AC). Kẻ DF song song với BC (F thuộc cạnh AC).
a) Trong nhóm các điểm B, D, F, C và nhóm các điểm A, B, C, D, nhóm các điểm nào là 4 đỉnh của một tứ giác lồi? Vì sao?
b) Các điểm A, B, C, D, E có phải là các đỉnh của một ngũ giác lồi không? Vì sao?
Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trong tam giác. Kẻ DE song song với AB (E thuộc cạnh AC). Kẻ DF song song với BC (F thuộc cạnh AC).
a) Trong nhóm các điểm B, D, F, C và nhóm các điểm A, B, C, D, nhóm các điểm nào là 4 đỉnh của một tứ giác lồi? Vì sao?
b) Các điểm A, B, C, D, E có phải là các đỉnh của một ngũ giác lồi không? Vì sao?
Xem đáp án »
25/08/2024
105
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
Xem đáp án »
25/08/2024
103
Câu 5:
Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều.
Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều.
Xem đáp án »
25/08/2024
95
Câu 6:
Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD, ME sao cho \(\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{1}{3},\,\,\frac{{CC'}}{{MC}} = \frac{{DD'}}{{MD}} = \frac{2}{3},\,\,\frac{{ME'}}{{{E^\prime }E}} = \frac{1}{2}.\) Chứng minh ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.
Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD, ME sao cho \(\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{1}{3},\,\,\frac{{CC'}}{{MC}} = \frac{{DD'}}{{MD}} = \frac{2}{3},\,\,\frac{{ME'}}{{{E^\prime }E}} = \frac{1}{2}.\) Chứng minh ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.
Xem đáp án »
25/08/2024
88
Câu 7:
Tính số đo mỗi góc của một đa giác đều có n cạnh trong mỗi trường hợp sau:
a) n = 8;
b) n = 9
c) n = 10.
Tính số đo mỗi góc của một đa giác đều có n cạnh trong mỗi trường hợp sau:
a) n = 8;
b) n = 9
c) n = 10.
Xem đáp án »
25/08/2024
81
về câu hỏi!