Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi P là trung điểm của BC và Q là giao điểm của các đường thẳng AP và FG.
Xét ∆ABC đều có AP là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác của tam giác.
Do đó: \[\widehat {BAP} = \widehat {PAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ .\]
Xét ∆AFG cân tại A (do AF = AG = x) nên đường trung tuyến AQ đồng thời là đường phân giác của tam giác. Do đó \(\widehat {FAG} = 2\widehat {FAQ}.\)
Lại có: \[\widehat {FAQ} + \widehat {FAB} + \widehat {BAP} = 180^\circ \]
Nên \[\widehat {FAQ} = 180^\circ - \widehat {FAB} - \widehat {BAP} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\]
Suy ra \(\widehat {FAG} = 2\widehat {FAQ} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .\)
Kẻ GN vuông góc với FA (N thuộc FA).
Tam giác FQA vuông tại Q có \(\widehat {FAQ} = 60^\circ \) và FA = x nên ta có:
\(FQ = FA \cdot \sin \widehat {FAQ} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2},\) do đó \(FG = 2FQ = x\sqrt 3 .\)
⦁ Do ABEF, BCIJ và CAGH là các hình chữ nhật nên ta có: AB = EF, BC = IJ, CA = GH, mà AB = BC = CA (do ∆ABC đều) nên nếu EFGHIJ là lục giác đều thì FG = GH = AC = a, do đó \(a = x\sqrt 3 \) hay a2 = 3x2.
Ngược lại, nếu a2 = 3x2 thì FG = a và các cạnh của lục giác EFGHIJ bằng nhau. (1)
⦁ Ta có \(\widehat {AFQ} + \widehat {FAQ} = 90^\circ \) (do ∆AFQ vuông tại Q) nên:
\(\widehat {AFQ} = 90^\circ - \widehat {FAQ} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\)
Suy ra \(\widehat {EFQ} = \widehat {EFA} + \widehat {AFQ} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ .\)
Tương tự, ta chứng minh được các góc của lục giác EFGHIJ đều bằng 120° nên lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
Vậy hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để lục giác EFGHIJ là lục giác đều là a2 = 3x2.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ngũ giác ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA và \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEA} = \widehat {EAB}.\)
Ta cũng có tổng 5 góc của ngũ giác đều ABCDE bằng tổng các góc của ba tam giác ABC, ACD, ADE, tức là bằng 3.180° = 540°.
Do đó: \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEA} = \widehat {EAB} = \frac{{540^\circ }}{5} = 108^\circ .\)
Xét ∆AEB cân tại A (do AB = AE) ta có:
\(\widehat {ABE} = \widehat {AEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAB}}}{2} = \frac{{180^\circ - 108^\circ }}{2} = 36^\circ .\)
Hay \(\widehat {ABM} = \widehat {AEN} = 36^\circ .\)
Tương tự, đối với ∆EAD cân tại E ta có: \[\widehat {EAD} = \widehat {EDA} = 36^\circ \] hay \[\widehat {EAN} = 36^\circ .\]
Do đó ta có \[\widehat {EAN} = \widehat {NEA} = 36^\circ .\] Suy ra ∆AEN cân tại N.
Tương tự, ta chứng minh được ∆MAB cân tại M (do \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 36^\circ )\)
Suy ra \(\widehat {AMB} = 180^\circ - 2\widehat {MAB} = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ .\)
Mặt khác: \(\widehat {CMB} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ ;\)
\(\widehat {MBC} = \widehat {ABC} - \widehat {ABM} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ .\)
Suy ra tam giác CMB cân tại C.
b) Ta có: \(\widehat {EAB} = \widehat {EAN} + \widehat {NAM} + \widehat {MAB}\)
Suy ra \(\widehat {NAM} = \widehat {EAB} - \widehat {EAN} - \widehat {MAB} = 108^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 36^\circ .\)
Do đó \(\widehat {EAN} = \widehat {NAM} = 36^\circ .\)
Vì vậy AN là phân giác của góc EAM.
c) Xét ∆MAB và ∆BAC có:
\(\widehat {AMB} = \widehat {ABC} = 108^\circ \) và \(\widehat {BAC}\) là góc chung
Do đó ∆MAB ᔕ ∆BAC (g.g), suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{CB}}\) hay AB.BC = BM.AC.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Áp dụng các bất đẳng thức tam giác ta có:
AF + FE > AE (trong tam giác AEF);
AJ + JB > AB (trong tam giác ABJ);
BI + IC > BC (trong tam giác BCI);
CH + HD > CD (trong tam giác CDH);
GE + GD > ED (trong tam giác GDE).
Do đó, ta có:
AF + FE + AJ + JB + BI + IC + CH + HD + GE + GD > AE + AB + BC + CD + ED. (1)
Mặt khác:
(AF + GD) + (JB + FE) + (AJ + IC) + (BI + HD) + (EG + CH) < AD + BE + AC + BD + EC.
Hay AF + FE + AJ + JB + BI + IC + CH + HD + GE + GD < AB + BC + CD + DE + EA. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AC + AD + BD + BE + EC > AB + BC + CD + DE + EA.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập