Câu hỏi:
29/08/2024 1491) Tính \(A = \sqrt 9 + \sqrt {12} + \sqrt {27} - 5\sqrt 3 .\)
2) Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{4}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 4.\)
Quảng cáo
Trả lời:
1) Ta có:
\(A = \sqrt 9 + \sqrt {12} + \sqrt {27} - 5\sqrt 3 \)\( = \sqrt {{3^2}} + \sqrt {{2^2} \cdot 3} + \sqrt {{3^2} \cdot 3} - 5\sqrt 3 \)
\( = 3 + 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 5\sqrt 3 \)\( = 3 + \left( {2 + 3 - 5} \right) \cdot \sqrt 3 \)\( = 3.\)
Vậy \(A = 3.\)
2) Với \(x > 0\) và \(x \ne 4,\) ta có:
\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{4}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\)
\( = \frac{{\sqrt x - 2 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{4}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x \left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right) \cdot \sqrt x \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\)
Như vậy, với \(x > 0\) và \(x \ne 4,\) thì \(B = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\)
Khi đó, để \(B < 0\) thì \(\frac{2}{{\sqrt x - 2}} < 0,\) tức là \(\sqrt x - 2 < 0,\) suy ra \(\sqrt x < 2,\) nên \(x < 4.\)
Đối chiếu điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 4,\) ta được \(0 < x < 4.\)
Vậy với \(0 < x < 4\) thì \(B < 0.\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1) Với \(m = 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) trở thành \({x^2} + 6x + 8 = 0.\)
Phương trình trên có \({\rm{\Delta '}} = {3^2} - 1 \cdot 8 = 1 > 0\) và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1.\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{ - 3 + 1}}{1} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 3 - 1}}{1} = - 4.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = - 4.\)
2) Xét phương trình \({x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0\,\,\,\left( {\rm{*}} \right)\)
Ta có \({\rm{\Delta '}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {6m - 4} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 6m + 4\)
\( = {m^2} - 4m + 5 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)
Do đó phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2m - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{x_1}{x_2} = 6m - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Do \({x_1}\) là nghiệm của \(\left( * \right)\) nên ta có:
\(x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 6m - 4 = 0\) hay \(x_1^2 + 6{x_1} + 9 = 4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13\)
Thay vào \(\left( {4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\) ta được
\(\left( {x_1^2 + 6{x_1} + 9} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\)
\({\left( {{x_1} + 3} \right)^2}x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\)
\({\left( {{x_1}{x_2} + 3{x_2}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\) \(\left( {**} \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(2m = - 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\) nên \(6m = - 6 - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
Thay vào\(\left( 2 \right)\) ta được: \({x_1}{x_2} = - 6 - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4,\) hay \[{x_1}{x_2} + 3{x_2} = - 10 - 3{x_1}.\,\,\,\left( 3 \right)\]
Thay vào \(\left( {**} \right)\) ta được: \({\left( { - 10 - 3{x_1}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\)
\(9x_1^2 + 60{x_1} + 100 - 24{x_1} - 100 = 0\)
\(9x_1^2 + 36{x_1} = 0\)
\(9{x_1}\left( {{x_1} + 4} \right) = 0\)
\({x_1} = 0\) hoặc \({x_1} = - 4.\)
Với \({x_1} = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta có \[6m - 4 = 0,\] nên \[m = \frac{2}{3};\]
Với \({x_1} = - 4\) thay vào \(\left( 3 \right)\) ta có \[\left( { - 4} \right) \cdot {x_2} + 3{x_2} = - 10 - 3 \cdot \left( { - 4} \right),\] suy ra \[ - {x_2} = 2,\] nên \({x_2} = - 2.\)
Do đó \({x_1} + {x_2} = - 6,\) tức là \( - 2m - 2 = - 6,\) nên \(m = 2.\)
Vậy \(m \in \left\{ {\frac{2}{3};\,\,2} \right\}.\)
Lời giải
1) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)
\(x\) |
\[--2\] |
\[--1\] |
\[0\] |
\[1\] |
\[2\] |
\(y = - 2{x^2}\) |
\( - 8\) |
\( - 2\) |
\[0\] |
\( - 2\) |
\( - 8\) |
Vẽ các điểm \(\left( { - 2; - 8} \right),\) \(\left( { - 1; - 2} \right),\) \(\left( {0;0} \right),\) \(\left( {1; - 2} \right),\) \(\left( {2; - 8} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
Vẽ đường parabol đi qua năm điểm trên, ta nhận được đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}\) (hình vẽ).
⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4.\)
Cho \(x = 0\) ta có \(y = - 4.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0; - 4} \right).\)
Cho \(y = 0\) ta có \(x = - 2.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(B\left( { - 2;0} \right).\)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 2;0} \right)\) ta được đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4\) (hình vẽ).
2) ⦁ Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4\) và \(y = - 2{x^2},\) khi đó ta có: \({y_0} = - 2{x_0} - 4\) và \({y_0} = - 2x_0^2.\)
Suy ra \( - 2{x_0} - 4 = - 2x_0^2\) hay \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\)
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm là \({x_0} = - 1\) và \({x_0} = 2.\)
Với \({x_0} = - 1,\) ta có \({y_0} = - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 2;\)
Với \({x_0} = 2,\) ta có \({y_0} = - 2 \cdot 2 - 4 = - 8.\)
Vậy tọa độ giao điểm \(C,\,\,D\) của hai đồ thị là: \(C\left( { - 1; - 2} \right)\) và \(D\left( {2; - 8} \right),\) hoặc \(C\left( {2; - 8} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 2} \right).\)
⦁ Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) chính là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(y = - 2x - 4.\)
Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(O\) xuống đường thẳng \[CD,\] ta có \(OH \bot CD.\)
Ta có \(A\left( {0; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right)\) suy ra \(OA = 4,\,\,OB = 2.\)
Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\) có:
⦁ \(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2}\) (định lí Pythagore)
Suy ra \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 .\)
⦁ \(\sin \widehat {OBA} = \frac{{OA}}{{AB}}.\)
Xét \(\Delta OBH\) vuông tại \(H,\) có: \(\sin \widehat {OBH} = \frac{{OH}}{{OB}}.\)
Suy ra \(\frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{OH}}{{OB}},\) do đó \(OH = \frac{{OA \cdot OB}}{{AB}} = \frac{{4 \cdot 2}}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) bằng \(\frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đồng Nai
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
Đề thi thử TS vào 10 (Lần 2 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Hoằng Thanh_Tỉnh Thanh Hóa
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận