Câu hỏi:
29/08/2024 34
1) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} .\)
2) Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y \le 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.\)
1) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} .\)
2) Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y \le 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Điều kiện xác định:
\({x^3} + 8 \ge 0,\) hay \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) \ge 0,\) nên \(x \ge - 2\) (do \({x^2} - 2x + 4 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}).\)
Ta có: \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \)
\(2\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - 2\left( {x + 2} \right) = 3\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {{x^2} - 2x + 4} .\)
Đặt \(u = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \ge \sqrt 3 \) và \(v = \sqrt {x + 2} \ge 0.\)
Ta được phương trình: \(2{u^2} - 2{v^2} = 3uv\)
\(\left( {2u + v} \right)\left( {u - 2v} \right) = 0\)
\(u = 2v\) (vì \(u \ge \sqrt 3 ,v \ge 0\) nên \(2u + v > 0).\)
Suy ra \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = 2\sqrt {x + 2} \)
\({x^2} - 2x + 4 = 4\left( {x + 2} \right)\)
\({x^2} - 6x - 4 = 0\)
\(x = 3 + \sqrt {13} \) hoặc \(x = 3 - \sqrt {13} .\)
Ta thấy các giá trị của \(x\) tìm được ở trên đều thỏa mãn điều kiện \(x \ge - 2.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 3 + \sqrt {13} ;\,\,x = 3 - \sqrt {13} .\)
2) Ta có: \(P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.\)
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: \[xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1.\]
Chứng minh bổ đề: Với hai số thực dương \(a,\,\,b\) ta luôn có \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ;\,\,\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}.\)
Suy ra \(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 2\sqrt {ab} \cdot \frac{2}{{\sqrt {ab} }} = 4.\)
Do đó \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge \frac{4}{{a + b}}.\)
Theo bổ đề trên, ta có:
\(P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3 = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{3}{{2xy}} + 8xy + \frac{8}{{xy}} + \frac{1}{{2xy}} + 3\)
\( \ge \frac{{3 \cdot 4}}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} + 2 \cdot \sqrt {8xy \cdot \frac{8}{{xy}}} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{{12}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 2 \cdot 8 + \frac{1}{2} + 3\)
\( \ge \frac{{12}}{{{2^2}}} + 16 + \frac{1}{2} + 3 = \frac{{45}}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 1.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(\frac{{45}}{2}\) khi \(x = y = 1.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác \(ABCD\) (như hình vẽ). Biết \(AB\) vuông góc với \(CD\) tại \(H;\) \(AB = 4{\rm{\;m;}}\) \(BC = 26{\rm{\;m}};\) \(CD = 16{\rm{\;m;}}\) \(\sin \widehat {BCD} = \frac{5}{{13}}.\)
Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).
2) Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,AB < AC.\) Tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
a) Chứng minh rằng các điểm \(A,\,\,O,\,\,H,\,\,M\) cùng nằm trên một đường tròn và \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)
b) Từ điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) cắt đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \[K.\] Chứng minh \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)
1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác \(ABCD\) (như hình vẽ). Biết \(AB\) vuông góc với \(CD\) tại \(H;\) \(AB = 4{\rm{\;m;}}\) \(BC = 26{\rm{\;m}};\) \(CD = 16{\rm{\;m;}}\) \(\sin \widehat {BCD} = \frac{5}{{13}}.\)
Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).
2) Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,AB < AC.\) Tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
a) Chứng minh rằng các điểm \(A,\,\,O,\,\,H,\,\,M\) cùng nằm trên một đường tròn và \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)
b) Từ điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) cắt đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \[K.\] Chứng minh \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)
Xem đáp án »
29/08/2024
827
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 4{\rm{\;cm}}\) và \(AC = 4\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có chu vi bằng
Xem đáp án »
29/08/2024
81
Câu 3:
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
29/08/2024
57
Câu 4:
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(B,\,\,C\) là các tiếp điểm), biết \(\widehat {BAC} = 50^\circ .\) Số đo cung nhỏ \(BC\) là
Xem đáp án »
29/08/2024
46
Câu 5:
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + 2 - m\) (với \(m\) là hàm số) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Xem đáp án »
29/08/2024
45
Câu 6:
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\2x + y = - 5\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là
Xem đáp án »
29/08/2024
45
về câu hỏi!