Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 16}\\{3x + 2y =  - 3.}\end{array}} \right.\)

1) Gọi giá niêm yết của 1 cái bút là \(x\) nghìn đồng \(\left( {x > 0} \right).\)

Vì cô chủ nhiệm mua 40 cái bút nên có 30 cái bút được giảm giá \(20{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết

và 10 cái bút được giảm giá \(40{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết, khi đó cô chủ nhiệm cần trả số tiền là:

\(30 \cdot \left( {100\%  - 20\% } \right)x + 10 \cdot \left( {100\%  - 40\% } \right)x = 24x + 6x = 30x\) (nghìn đồng).

Theo bài, cô chủ nhiệm mua 40 cái bút hết \[900{\rm{ }}000\] đồng \( = 900\) nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(30x = 900,\) suy ra \(x = 30\) (nghìn đồng).

Vậy giá niêm yết 1 cái bút là \[30{\rm{ }}000\] đồng.

2) Gọi số bút cô chủ nhiệm mua được là \(a\) chiếc nếu cô có \[1{\rm{ }}260{\rm{ }}000\] đồng \(\left( {a \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right).\)

Theo câu 1) nếu cô mua 40 cái bút thì hết \[900{\rm{ }}000\] đồng nên \(a > 40.\)

Số bút được giảm \(20{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết là 30 chiếc, số bút được giảm \(40{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết là \(a - 30\) chiếc.

Số tiền cô chủ nhiệm cần trả khi mua \(a\) cái bút là:

\(30 \cdot \left( {100\%  - 20\% } \right) \cdot 30 + \left( {a - 30} \right) \cdot \left( {100\%  - 40\% } \right) \cdot 30 = 720 + 18\left( {a - 30} \right)\) (nghìn đồng).

Theo bài, tổng số tiền cô mua là \[1{\rm{ }}260{\rm{ }}000\] đồng \( = 1{\rm{ }}260\) nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(720 + 18\left( {a - 30} \right) = 1\,\,260\)

\[18a + 180 = 1\,\,260\]

\[18a = 1\,\,080\]

\[a = 60\] (thỏa mãn).

Vậy nếu có \[1{\rm{ }}260{\rm{ }}000\] đồng cô chủ nhiệm có thể mua được 60 chiếc bút.

Với \(a\) là số thực dương, ta có \[{a^2} + 1 \ge 2a\] nên \(\frac{b}{{{a^2} + 1}} = b - \frac{{{a^2}b}}{{{a^2} + 1}} \ge b - \frac{{{a^2}b}}{{2a}} = b - \frac{{ab}}{2}.\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\frac{c}{{{b^2} + 1}} \ge c - \frac{{bc}}{2}\) và \(\frac{a}{{{c^2} + 1}} \ge a - \frac{{ac}}{2}.\)

Do đó: \(P \ge \left( {a + b + c} \right) - \frac{1}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right) = 3 - \frac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Lại có \(\left( {ab + bc + ca} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 3\) nên \(P \ge 3 - \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{9}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy min \(P = \frac{9}{4}\) khi \(a = b = c = 1.\)