Cho biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right) + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}},\) với \(x \ge 0.\)

1) Rút gọn biểu thức \(A.\)

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên.

1) Gọi giá niêm yết của 1 cái bút là \(x\) nghìn đồng \(\left( {x > 0} \right).\)

Vì cô chủ nhiệm mua 40 cái bút nên có 30 cái bút được giảm giá \(20{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết

và 10 cái bút được giảm giá \(40{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết, khi đó cô chủ nhiệm cần trả số tiền là:

\(30 \cdot \left( {100\%  - 20\% } \right)x + 10 \cdot \left( {100\%  - 40\% } \right)x = 24x + 6x = 30x\) (nghìn đồng).

Theo bài, cô chủ nhiệm mua 40 cái bút hết \[900{\rm{ }}000\] đồng \( = 900\) nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(30x = 900,\) suy ra \(x = 30\) (nghìn đồng).

Vậy giá niêm yết 1 cái bút là \[30{\rm{ }}000\] đồng.

2) Gọi số bút cô chủ nhiệm mua được là \(a\) chiếc nếu cô có \[1{\rm{ }}260{\rm{ }}000\] đồng \(\left( {a \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right).\)

Theo câu 1) nếu cô mua 40 cái bút thì hết \[900{\rm{ }}000\] đồng nên \(a > 40.\)

Số bút được giảm \(20{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết là 30 chiếc, số bút được giảm \(40{\rm{\% }}\) so với giá niêm yết là \(a - 30\) chiếc.

Số tiền cô chủ nhiệm cần trả khi mua \(a\) cái bút là:

\(30 \cdot \left( {100\%  - 20\% } \right) \cdot 30 + \left( {a - 30} \right) \cdot \left( {100\%  - 40\% } \right) \cdot 30 = 720 + 18\left( {a - 30} \right)\) (nghìn đồng).

Theo bài, tổng số tiền cô mua là \[1{\rm{ }}260{\rm{ }}000\] đồng \( = 1{\rm{ }}260\) nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(720 + 18\left( {a - 30} \right) = 1\,\,260\)

\[18a + 180 = 1\,\,260\]

\[18a = 1\,\,080\]

\[a = 60\] (thỏa mãn).

Vậy nếu có \[1{\rm{ }}260{\rm{ }}000\] đồng cô chủ nhiệm có thể mua được 60 chiếc bút.

Với \(a\) là số thực dương, ta có \[{a^2} + 1 \ge 2a\] nên \(\frac{b}{{{a^2} + 1}} = b - \frac{{{a^2}b}}{{{a^2} + 1}} \ge b - \frac{{{a^2}b}}{{2a}} = b - \frac{{ab}}{2}.\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\frac{c}{{{b^2} + 1}} \ge c - \frac{{bc}}{2}\) và \(\frac{a}{{{c^2} + 1}} \ge a - \frac{{ac}}{2}.\)

Do đó: \(P \ge \left( {a + b + c} \right) - \frac{1}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right) = 3 - \frac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Lại có \(\left( {ab + bc + ca} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 3\) nên \(P \ge 3 - \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{9}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy min \(P = \frac{9}{4}\) khi \(a = b = c = 1.\)