Câu hỏi:

29/08/2024 326

Không sử dụng máy tính cầm tay:

1) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {36} + \sqrt 9 - \sqrt {81} \).

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{x + 3y = 6}\\{2x - 3y = 3}\end{array}} \right.\).

3) Giải phương trình \(3{x^2} - 7x + 4 = 0\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Khánh Hòa 2024 - 2025 (Đề 17) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) \(A = \sqrt {36} + \sqrt 9 - \sqrt {81} \)\( = \sqrt {{6^2}} + \sqrt {{3^2}} - \sqrt {{9^2}} \)\( = 6 + 3 - 9 = 0\).

Vậy \(A = 0\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y = 6}\\{2x - 3y = 3}\end{array}} \right.\). Cộng từng vế của phương trình mới, ta được: \(3x = 9\), tức là \[x = 3.\]

Thế \[x = 3\] vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta có: \(3 + 3y = 6\) nên \(3y = 3\) hay \[y = 1.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( {3\,;\,\,1} \right).\)

c) \(3{x^2} - 7x + 4 = 0\).

Cách 1: Ta có \(a + b + c = 3 + \left( { - 7} \right) + 4 = 0\).

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \(x = 1\,;\,\,x = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}.\)

Cách 2: Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 7} \right)^2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 > 0.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x = \frac{{ - b + \sqrt {\rm{\Delta }} }}{{2a}} = \frac{{7 + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 3}} = \frac{4}{3}\,;\,\,x = \frac{{ - b - \sqrt {\rm{\Delta }} }}{{2a}} = \frac{{7 - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 3}} = 1.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x = 1\,;\,\,x = \frac{4}{3}.\)

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn (với \(OM \ne 2R).\) Qua \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(A,B\) là các tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp đường tròn.

2) Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(MB\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) (khác \(A),\) đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\) (khác \(C).\) Chứng minh \(\widehat {AEB} = \widehat {BEM}\).

3) Gọi \(H\) là giao điểm của \(OM\) và \(AB\,;\,\,I\) là điểm đối xứng của \(E\) qua \(OM.\) Chứng minh \(ME \cdot MC = MH \cdot MO\) và ba điểm \(C,\,\,H,\,\,I\) thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp đường tròn.

Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (với OM < 2R) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (ảnh 1)

Vì \(MA,\,\,MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(A,B\) là các tiếp điểm) nên

\(MA \bot OA\,,\,\,MB \bot OB\)

Hay \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \).

Xét tứ giác \(MAOB\) có

\(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \(MAOB\) nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh \(\widehat {AEB} = \widehat {BEM}\).

Vì \(AC\,{\rm{//}}\,MB\,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\) nên \(\widehat {ACE} = \widehat {BME}\) (so le trong)

Mà \(\widehat {ACE} = \widehat {ABE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE)\), suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {BME}{\rm{.\;}}\)

Vì \(\Delta OBE\) cân tại \(O\) \(\left( {OB = OE} \right)\) nên \(\widehat {OBE} = \widehat {OEB}.\)

Suy ra \(\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {BOE}}}{2}.\)

Vì \[MB\] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[B\] nên \(OB \bot MB\) hay \(\widehat {OBM} = 90^\circ .\)

Suy ra \[\widehat {MBE} = 90^\circ - \widehat {OBE}\]\[ = 90^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat {BOE}}}{2}} \right) = \frac{{\widehat {BOE}}}{2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Mặt khác nên \[\widehat {BAE} = \frac{{\widehat {BOE}}}{2}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {MBE}\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta BME\) có: \(ABE = BME\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\); \(\widehat {BAE} = \widehat {MBE}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\).

Do đó . Suy ra \(\widehat {AEB} = \widehat {BEM}\) (hai góc tương ứng) (đpcm).

3) Chứng minh \(ME \cdot MC = MH \cdot MO\) và ba điểm \(C,\,\,H,\,\,I\) thẳng hàng.

Chứng minh \(ME \cdot MC = MH \cdot MO\).

Vì \(\Delta OAE\) cân tại \(O\) \(\left( {OA = OE} \right)\) nên \(\widehat {OAE} = \widehat {OEA}.\)

Suy ra \(\widehat {OAE} = \widehat {OEA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {AOE}}}{2}.\)

Vì \[MA\] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[A\] nên \(OA \bot MA\) hay \(\widehat {OAM} = 90^\circ .\)

Suy ra \[\widehat {MAE} = 90^\circ - \widehat {OAE}\]\[ = 90^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat {AOE}}}{2}} \right) = \frac{{\widehat {AOE}}}{2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Mặt khác nên \[\widehat {ACM} = \frac{{\widehat {AOE}}}{2}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \(\widehat {MAE} = \widehat {ACM}\).

Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta CMA\) có: \(\widehat {AME}\) chung; \(\widehat {MAE} = \widehat {ACM}\) (cmt)

Do đó . Suy ra \(\frac{{MA}}{{ME}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) hay \(M{A^2} = ME \cdot MC.\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vi \(MA,\,\,MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(MA = MB.\)

Lại có \(OA = OB\) nên \(MO\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(AB \bot MO\) tại \[H.\]

Xét \[\Delta OAM\] vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\), ta có \(M{A^2} = MH \cdot MO.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(ME \cdot MC = MH \cdot MO\) (đpcm).

Chứng minh ba điểm \(C,\,\,H,\,\,I\) thẳng hàng.

Do \(I\) lả điểm đối xứng của \(E\) qua \(OM\) nên \(OM\) là đường trung trực của \(EI\) nên \(OE = OI,\) suy ra \(I \in \left( {O\,;R} \right).\)

Do \(ME \cdot MC = MH \cdot MO\) nên \(\frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}\).

Xét \(\Delta MEH\) và \(\Delta MOC\) có \(\widehat {OME}\) chung; \(\frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}\) (cmt).

Do đó suy ra \(\widehat {MHE} = \widehat {MCO}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {MHE} + \widehat {EHO} = 180^\circ \) nên \(\widehat {MCO} + \widehat {EHO} = 180^\circ .\)

Mà \[\widehat {MCO}\] và \[\widehat {EHO}\] ở vị trí đối diện nên tứ giác \(EHOC\) nội tiếp đường tròn.

Suy ra \(\widehat {EHC} = \widehat {EOC}\) (cùng chắn cung \(EC\,).\)

Ta có \(\widehat {IHE} = 2\widehat {MHE}\) (tính chất đường trung trực)

Mà \(\widehat {MHE} = \widehat {MCO}\) nên

\(\widehat {IHE} + \widehat {EHC} = 2\widehat {MHE} + \widehat {EOC}\)\( = 2\widehat {MCO} + \widehat {EOC} = \widehat {MCO} + \widehat {CEO} + \widehat {EOC} = 180^\circ \).

Vậy ba điểm \(C,\,\,H,\,\,I\) thẳng hàng.

Câu 2

1) Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng \[52{\rm{ m}}.\] Trên mảnh đất đó, người ta làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích \(112{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) và một lối đi xung quanh vườn rau rộng \[1{\rm{ m}}\] (Hình 1). Tính các kích thước của mảnh đất đó.

2) Người ta thả một viên bi hình cầu không thấm nước, có bán kính bằng \[3{\rm{ cm}}\] ngập hoàn toàn trong một ly nước hình trụ có bán kính đáy bằng \[5{\rm{ cm,}}\] ly được đặt thẳng đứng so với mặt nằm ngang và đủ to để nước không tràn ra ngoài (Hình 2). Hỏi sau khi thả viên bi vào thì mục nước trong ly dâng lên bao nhiêu centimet? Biết thể tích của hình cầu có

Bán kính \(R\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\), thể tích hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h.\)

Xem đáp án

Lời giải

1) Gọi \(x,y\,\,\left( m \right)\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đã cho \[\left( {x,y > 0\,;\,\,x > y} \right).\]

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là: \(52:2 = 26\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) hay \(x + y = 26. & \left( 1 \right)\)

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = 112\) hay \(xy - 2\left( {x + y} \right) = 108.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \[\left( 1 \right)\] vào \[\left( 2 \right)\] ta có \(xy - 2 \cdot 26 = 108\) nên \(xy = 160. & \left( 3 \right)\)

Từ \[\left( 1 \right)\] và \(\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 26\\xy = 160\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất ta có \(y = 26 - x\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được

\(x\left( {26 - x} \right) = 160\) hay \({x^2} - 26x + 160 = 0 & \left( * \right)\)

Giải phương trình \(\left( * \right)\), ta được: \(x = 16\) hoặc \(x = 10\).

Với \(x = 16\) thì \(y = 26 - 16 = 10\) (thỏa mãn điều kiện \[x > y).\]

Với \(x = 10\) thì \(y = 26 - 10 = 16\) (không thỏa mãn điều kiện \[x > y).\]

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là \(10\,\,{\rm{m}}\) và chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(16\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

2) Thể tích của viên bi là: \({V_{bi}} = \frac{4}{3}\pi \cdot {3^3} = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Phần thể tích nước tăng lên sau khi thả viên bi là:

\({V_t} = \pi {R^2}h = \pi \cdot {5^2} \cdot h = 25\pi h\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vì phần thể tích nước tăng bằng thể tích của viên bi nên \(25\pi h = 36\pi \), suy ra \(h = \frac{{36}}{{25}}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong ly dâng lên \(\frac{{36}}{{25}}\,\,{\rm{cm}}.\)

Câu 3