Cho biểu thức:

\(A = \frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{{10 - 8\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 5}}\) với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức A nhỏ hơn 2.

a) Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng ta có:

\(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 5}}} \right) - \frac{{10 - 8\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }}\)

\( = \frac{{2\left( {\sqrt x + 5} \right) + {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \frac{{10 - 8\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x + 10 + x - 10 + 8\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}\)\( = \frac{{x + 10\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }}.\)

b) Xét hiệu \(A - 2 = \frac{{x + 10\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }} - \frac{{2\left( {x + 5\sqrt x } \right)}}{{x + 5\sqrt x }}\)

\( = \frac{{x + 10\sqrt x - 2x - 10\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }} = \frac{{ - x}}{{x + 5\sqrt x }}\)

\( = \frac{{ - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + 5}}.\)

Với x > 0 thì \(A - 2 = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + 5}} < 0\) nên giá trị của biểu thức A nhỏ hơn 2.