Tính diện tích của hình phẳng được gạch chéo trong mỗi hình sau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx, trục hoành và đường thẳng x = 1 và x = −1.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\[S = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} \]

\[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left( { - \cos x} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {\sin {\rm{x}}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {\sin {\rm{x}}} \right)} \right|_{_{\frac{\pi }{2}}}^{^{\frac{{3\pi }}{2}}} = 3.\]

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x, đường thẳng y = 4 với hai đường thẳng x = 0 và x = 2.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\[S = \int\limits_0^2 {\left| {4 - {2^x}} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left( {4 - {2^x}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {4x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^2 = 8 - \frac{3}{{\ln 2}}.\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một bình chứa nước dạng như Hình 13 có chiều cao là \[\frac{{3\pi }}{2}\] dm. Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là x (dm) thì mặt nước là hình tròn có bán kính \[\sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \] (dm) với 0 ≤ x ≤ \[\frac{{3\pi }}{2}\]. Tính dung tích của hình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối).

Lời giải

Diện tích mặt nước hình tròn bán kính \[R = \sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \] (dm) là:

\[S\left( x \right) = \pi {R^2} = \pi {\left( {\sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} } \right)^2} = \pi .\left( {2 - \sin {\rm{x}}} \right)\] (dm²).

Dung tích của bình là:

\[V = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {S\left( x \right)dx = } \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\pi \left( {2 - \sin x} \right)dx} \]

\[ = \left. {\pi \left( {2x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{2}}\]

\[ = \pi \left( {3\pi - 1} \right) \approx 26,47\] (dm³).

Câu 2

Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình 16). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối).

Gợi ý: có thể coi bể cá là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt {4 - {x^2}} \] với −2 ≤ x ≤ 1, trục hoành và đường thẳng x = 1 quanh trục hoành.

Lời giải

Chọn hệ trục Oxy, ta có hình vẽ sau:

Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình 16). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối). (ảnh 2)

Dung tích của bể cá là:

\[V = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} } \]

\[ = \left. {\pi \left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\pi \approx 28,3\] (dm³).

Câu 3