Câu hỏi:
19/09/2024 9Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Đồ thị của hàm số y = 3x(2 – x), trục hoành với hai đường thẳng x = −1, x = 1.
b) Đồ thị của hàm số \[y = \frac{{4 - x}}{x}\], trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
c) Đồ thị của hàm số y = x3 – x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Diện tích hình phẳng cần tìm là: \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {3x\left( {2 - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6x - 3{x^2}} \right|dx} \].
Ta có: 3x(2 – x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 0.
Phương trình chỉ có nghiệm x = 0 thuộc đoạn [−1; 1].
Do đó, \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6x - 3{x^2}} \right|dx} \]
\[ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6x - 3{x^2}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6x - 3{x^2}} \right)dx} } \right|\]
\[ = \left| {\left. {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} \right|_0^1} \right|\]
= 4 + 2 = 6.
b) Ta có \[y = \frac{{4 - x}}{x}\] > 0 với mọi x ∈ [1; 2].
Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{4 - x}}{x}} \right|} dx = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{4 - x}}{x}} \right)} dx\]
\[ = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{4}{x} - 1} \right)dx = \left. {\left( {4\ln \left| x \right| - x} \right)} \right|_1^2} \]
= 4ln2 – 1.
c) Ta có: x3 – x2 = 0 ⇔ x2(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
Với x ∈ [0; 1] thì y ≤ 0; với x ∈ [1; 2] thì y ≥ 0.
Do đó, diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} \]
\[ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - {x^3}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2\]
\[ = \frac{1}{{12}} + \frac{{17}}{{12}} = \frac{3}{2}.\]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
a) y = x2 + 2x + 1, y = 1 – 2x và hai đường thẳng x = −1 và x = 2.
b) y = x – 4x3, y = 2x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Câu 3:
Kí hiệu S(a) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = \[\frac{3}{{{x^2}}}\], trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = a với a > 1 (Hình 12). Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } S\left( a \right)\].
Câu 4:
Một bình chứa nước dạng như Hình 13 có chiều cao là \[\frac{{3\pi }}{2}\] dm. Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là x (dm) thì mặt nước là hình tròn có bán kính \[\sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \] (dm) với 0 ≤ x ≤ \[\frac{{3\pi }}{2}\]. Tính dung tích của hình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối).
Câu 5:
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x3, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1.
a) Tính diện tích của D.
b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.
Câu 6:
Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 15 (phần được tô màu xám). Tính diện tích của mặt cắt ngang đó.
về câu hỏi!