Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
a) y = x2 + 2x + 1, y = 1 – 2x và hai đường thẳng x = −1 và x = 2.
b) y = x – 4x3, y = 2x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
a) y = x2 + 2x + 1, y = 1 – 2x và hai đường thẳng x = −1 và x = 2.
b) y = x – 4x3, y = 2x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Quảng cáo
Trả lời:

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {1 - 2x} \right)} \right|} dx\]
\[ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} + 4x} \right|} dx\].
Ta có: x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −4. Phương trình chỉ có một nghiệm x = 0 thuộc [−1; 2].
Do đó, \[S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 4x} \right|dx} \]
\[ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + 4x} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 4x} \right|dx} } \]
\[ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} + 4x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 4x} \right)dx} } \right|\]
\[ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^2} \right|\]
\[ = \frac{5}{3} + \frac{{32}}{3} = \frac{{37}}{3}.\]
b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S = \int\limits_1^4 {\left| {x - 4{x^3} - 2x} \right|dx = \int\limits_1^4 {\left| { - 4{x^3} - x} \right|dx} } \]
\[ = \int\limits_1^4 {\left| { - \left( {4{x^3} + x} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left| {4{x^3} + x} \right|dx} \]
Do 4x3 + x > 0 với mọi x ∈ [1; 4]. Do đó,
\[S = \int\limits_1^4 {\left| {4{x^3} + x} \right|dx} \]
= \[\int\limits_1^4 {\left( {4{x^3} + x} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {{x^4} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{525}}{2}.\]
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Diện tích mặt nước hình tròn bán kính \[R = \sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \] (dm) là:
\[S\left( x \right) = \pi {R^2} = \pi {\left( {\sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} } \right)^2} = \pi .\left( {2 - \sin {\rm{x}}} \right)\] (dm2).
Dung tích của bình là:
\[V = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {S\left( x \right)dx = } \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\pi \left( {2 - \sin x} \right)dx} \]
\[ = \left. {\pi \left( {2x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{2}}\]
\[ = \pi \left( {3\pi - 1} \right) \approx 26,47\] (dm3).
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục hoành nằm dọc theo cạnh trên của mặt cắt ngang, trục tung đi qua đỉnh của parabol như hình bên. Khi đó, đường parabol có phương trình dạng y = ax2 – 2 (a > 2).

Theo giả thiết, ta có y(1) = 0 ⇔ a – 2 = 0 ⇔ a = 2.
Suy ra phương trình parabol là y = 2x2 – 2.
Diện tích của phần lòng máng là:
\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2 - 2{x^2}} \right)dx = \left. {\left( {2x - \frac{{2{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{8}{3}} \] (m2).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.