Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ( vec a(1;1; - 3), vec b( - 5; - 1;0). ) Tích vô hướng của hai vectơ ( overrightarrow { rm{a}} , overrightarrow { rm{b}} ) có giá trị bằng bao nhiêu?

Đáp số: ( - 6 cdot vec a cdot vec b = 1 cdot ( - 5) + 1 cdot ( - 1) + ( - 3) cdot 0 = - 6. )

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ → a ( 1 ; 1 ; − 3 ) , → b ( − 5 ; − 1 ; 0 ) . Tích vô hướng của hai vectơ → a , → b có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 1

Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh $6\;{\rm{m}},{\rm{AM}},{\rm{BN}},{\rm{DP}}$ cùng vuông góc với $({\rm{ABCD}}),{\rm{AM}} = 4\;{\rm{m}}$, ${\rm{BN}} = 3\;{\rm{m}},{\rm{DP}} = 2\;{\rm{m}}.$ Góc giữa hai mặt phẳng $({\rm{ABCD}})$ và $({\rm{MNP}})$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) là ${{\rm{n}}^o }$ với n là số nguyên dương. Giá trị của n là bao nhiêu?

$Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh $6\;{\rm{m}},{\rm{AM}},{\rm{BN}},{\rm{DP}}$ cùng vuông góc với $({\rm{ABCD}}),{\rm{AM}} = 4\;{\rm{m}}$, ${\rm{BN}} = 3\;{\rm{m}},{\rm{DP}} = 2\;{\rm{m}}.$ Góc giữa hai mặt phẳng $({\rm{ABCD}})$ và $({\rm{MNP}})$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) là ${{\rm{n}}^^\circ }$ với n là số nguyên dương. Giá trị của n là bao nhiêu? (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Đáp số: 20.

$Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh $6\;{\rm{m}},{\rm{AM}},{\rm{BN}},{\rm{DP}}$ cùng vuông góc với $({\rm{ABCD}}),{\rm{AM}} = 4\;{\rm{m}}$, ${\rm{BN}} = 3\;{\rm{m}},{\rm{DP}} = 2\;{\rm{m}}.$ Góc giữa hai mặt phẳng $({\rm{ABCD}})$ và $({\rm{MNP}})$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) là ${{\rm{n}}^^\circ }$ với n là số nguyên dương. Giá trị của n là bao nhiêu? (ảnh 2)$

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ với đơn vị của mỗi trục là mét, ${\rm{A}}(0;0;0),{\rm{B}}(6;0;0)$, ${\rm{D}}(0;6;0),{\rm{M}}(0;0;4),{\rm{N}}(6;0;3),{\rm{P}}(0;6;2).$ Phương trình mặt phẳng (MNP) là ${\rm{x}} + 2{\rm{y}} + $ $6{\rm{z}} - 24 = 0$, vectơ pháp tuyến của (MNP) là $\overrightarrow {\rm{n}} = (1;2;6).$

$({\rm{ABCD}})$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {\rm{k}} = (0;0;1).$

$\cos {{\rm{n}}^o } = \cos (({\rm{ABCD}}),({\rm{MNP}})) = \frac{{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 6 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{6\sqrt {41} }}{{41}}.$

Suy ra ${\rm{n}} = 20.$

Câu 2

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{{\rm{x}} - 2}}{1} = \frac{{{\rm{y}} - 3}}{1} = \frac{{{\rm{z}} + 1}}{2}$ và mặt phẳng $({\rm{P}}):{\rm{x}} + 2{\rm{y}} - {\rm{z}} + 1 = 0$ là ${{\rm{n}}^o }$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, n là số nguyên dương). Giá trị của n là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Đáp số: 10.

$\sin ((\Delta ),({\rm{P}})) = \frac{{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{6}.$

Suy ra $((\Delta ),(P)) = {10^o }.$

Câu 3