Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm \(O\) trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm \(A,\,B,\,C\) trên đèn tròn sao cho các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt trên mối dây \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\) (N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

___

– Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1;\, + \infty } \right)\), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này.  

Trên các khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2;\, - 1} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.  

Vậy ý) a sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  - 3\); đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), do đó ý b) đúng.

– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 2\), do đó ý c) sai.

– Vì \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng nên \(n = 2\). Khi đó, \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 2}}\).

Ta có \(y' = \frac{{a{x^2} + 4ax + 2b - c}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow a{x^2} + 4ax + 2b - c = 0\) (*).

\(x =  - 1\) là một nghiệm của phương trình (*), do đó \( - 3a + 2b - c = 0\).

Các điểm \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( { - 3; - 3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 2}}\).

Khi đó, ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 2b - c = 0\\a - b + c = 1\\ - 9a + 3b - c =  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 3\end{array} \right.\).

Vậy công thức xác định hàm số đã cho là \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\). Do đó, ý) d đúng.

Ta thấy độ dài \(x\) (cm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < 6\).

Khi đó, thể tích của khối hộp là:

\(V\left( x \right) = x{\left( {12 - 2x} \right)^2} = 4\left( {{x^3} - 12{x^2} + 36x} \right)\) với \(0 < x < 6\).

Ta có: \(V'\left( x \right) = 4\left( {3{x^2} - 24x + 36} \right)\), \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = 6\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V\left( x \right)\) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \(\left( {0;\,6} \right)\), hàm số \(V\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(128\) tại \(x = 2\). Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì \(x = 2\) (cm).

Đáp số: \(2\).