Câu hỏi:
10/10/2024 14,776
1) Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm, đường kính đáy là 5 cm, lượng nước tinh khiết trong ly cao 10 cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ dưới đây.
a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly.
b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly là không đáng kể).
2) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(MN\) vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(C\) khác điểm \(M.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(BC.\)
a) Chứng minh bốn điểm \(O,\,\,M,\,\,H,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Hai đường thẳng \(MB\) và \(OH\) cắt nhau tại \(E.\) Chứng minh \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}\) và \(ME \cdot MH = BE \cdot HC.\)
c) Gọi \(P\) là giao điểm thứ hai của đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MHC.\) Chứng minh ba điểm \(C,\,\,P,\,\,E\) là ba điểm thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 1) !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) a) Bán kính đáy của lý nước có dạng hình trụ đó là: \(\frac{5}{2} = 2,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly bằng thể tích của hình trụ có chiều cao \(10\) cm, và bằng:
\({V_1} = \pi \cdot {\left( {2,5} \right)^2} \cdot 10 = 62,5\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
b) Thể tích của 5 viên bi bằng thể tích của hình trụ với chiều cao là \[15 - 10 = 5\] (cm).
\[{V_{5\,\,vien\,\,bi}} = \pi \cdot {\left( {2,5} \right)^2} \cdot 5 = 31,25\pi \] (cm³).
Thể tích của mỗi viên bi là: \(\frac{{31,25\pi }}{5} = 6,25\pi \) (cm³).
2)
a) Cách 1: Ta có \(MN \bot AB\) tại \[O\] nên \(\Delta MOB\) vuông tại \[O\], suy ra ba điểm \[M,{\rm{ }}O,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].
Ta có \(MH \bot CB\) tại \[H\] nên \(\Delta MHB\) vuông tại \[H,\]suy ra ba điểm \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].
Do đó bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MB\].
Cách 2: Gọi \[I\] là trung điểm của \[MB\].
Ta có \(MN \bot AB\) tại \[O\] nên \(\Delta MOB\) vuông tại \[O,\] lại có \[OI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(MB\) nên \(IO = IM = IB = \frac{1}{2}MB.\)
Ta có \(MH \bot CB\) tại \[H\] nên \(\Delta MHB\) vuông tại \[H,\]
lại có HI là đường trung tuyến với cạnh huyền \(MB\) nên \(IH = IM = IB = \frac{1}{2}MB.\)
Vậy \(IO = IM = IH = IB\) nên bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn tâm \[I,\] đường kính \(MB.\)
b) ⦁ Chứng minh \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}\)
Xét đường tròn ngoại tiếp đi qua bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] có \(\widehat {MHO} = \widehat {MBO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MO).\]
Xét đường tròn tâm \[O\] có: \(\widehat {MBA} = \widehat {MNA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MA)\] hay \(\widehat {MBO} = \widehat {MNA}\)
Do đó: \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}.\)
⦁ Chứng minh \(ME \cdot MH = BE \cdot HC\)
Xét đường tròn ngoại tiếp đi qua bốn điểm \[O;{\rm{ }}M;{\rm{ }}H;{\rm{ }}B\] có \(\widehat {BMO} = \widehat {BHO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[OB)\]
Tam giác \[MBO\] cân tại \[O\] (do \(OM = OB)\) nên \(\widehat {BMO} = \widehat {MBO}\).
Lại có \(\widehat {MHO} = \widehat {MBO}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {MHO} = \widehat {BHO}\) nên \[HO\] là tia phân giác của \(\widehat {MHB}\) hay \[ME\] là tia phân giác của \(\widehat {MHB}.\)
Xét \(\Delta MHB\) có \[ME\] là tia phân giác của \(\widehat {MHB}\) nên \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MH}}{{BH}}\) (1)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) là đường kính và \(M \in \left( O \right)\) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó \(\widehat {CMB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HMC} + \widehat {HMB} = 90^\circ .\)
Mặt khác, \(\Delta MHB\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HMB} + \widehat {HBM} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông).
Suy ra \(\widehat {HMC} = \widehat {HBM}.\)
Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BHM\) có: \(\widehat {HMC} = \widehat {BHM} = 90^\circ \) và \(\widehat {HMC} = \widehat {HBM}\)
Do đó (g.g), suy ra \(\frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{HC}}{{HM}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\,\,\left( { = \frac{{MH}}{{BH}}} \right)\) hay \(ME \cdot MH = BE \cdot HC\).
c) ⦁ Tam giác \[MHC\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}C\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MC\].
Mà \[P\] thuộc đường tròn đó nên \(\widehat {MPC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Mặt khác, \[P\] thuộc đường tròn tâm \[O,\] đường kính \[MN\] nên \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vậy \(\widehat {MPN} + \widehat {MPC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \[C,{\rm{ }}P,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (3)
⦁ Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BMC\) có:
\(\widehat {MHC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) và \(\widehat {MCB}\) là góc chung
Do đó (g.g), suy ra \(\frac{{MH}}{{BM}} = \frac{{HC}}{{MC}}\) hay \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\).
Tam giác \[BMN\]có \[BO\] là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \[\Delta BMN\] cân tại \[B\], suy ra \(BM = BN.\)
Do đó từ \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\) ta có \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BN}}\)
Theo câu b ta có: \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\) nên \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}\).
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(MN\) có \(B \in \left( O \right)\) nên \(\widehat {NBM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {NBE} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta MCE\) và \(\Delta BNE\) có: \(\widehat {CME} = \widehat {NBE} = 90^\circ \) và \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}\)
Do đó (g.g), suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {BEN}\) (hai góc tương ứng).
Ta có: \(\widehat {BEN} + \widehat {CEB} = \widehat {MEC} + \widehat {CEB} = \widehat {MEB} = 180^\circ \) nên ba điểm \[C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (4)
Từ (3) và (4) ta có bốn điểm \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E;{\rm{ }}N\] thẳng hàng hay \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E\] thẳng hàng.
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6\% /\)năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8\% /\)năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.
2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).
3) Biết rằng phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + a = 0\) có một nghiệm là \[x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\] Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.
1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6\% /\)năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8\% /\)năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.
2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).
3) Biết rằng phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + a = 0\) có một nghiệm là \[x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\] Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.
Xem đáp án »
10/10/2024
7,932
Câu 2:
1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40, 42)
2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\, \ldots ,\,\,11,\,\,12;\) chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.
Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố \(M:\) “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố
1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40, 42)
2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\, \ldots ,\,\,11,\,\,12;\) chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.
Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố \(M:\) “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố
Xem đáp án »
10/10/2024
3,693
Câu 3:
Cho phương trình bậc hai (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Cho phương trình bậc hai (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Xem đáp án »
13/07/2024
3,526
Câu 4:
Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 3}}{{4 - x}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9.\)
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}.\)
3) Xét biểu thức \(P = AB.\) Chứng minh \(P < {P^2}.\)
Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 3}}{{4 - x}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9.\)
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}.\)
3) Xét biểu thức \(P = AB.\) Chứng minh \(P < {P^2}.\)
Xem đáp án »
10/10/2024
2,763
Câu 5:
Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1).
![Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid8-1728573234.png)
Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC,\) với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \(x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\) (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.
Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1).
Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC,\) với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \(x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\) (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.
Xem đáp án »
10/10/2024
2,121
Câu 6:
Cho hai biểu thức:
và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh
3) Xét biểu thức P = A.B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai biểu thức:
và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh
3) Xét biểu thức P = A.B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Xem đáp án »
13/07/2024
2,068
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận