Câu hỏi:
10/10/2024 198
Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1).
![Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid8-1728573234.png)
Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC,\) với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \(x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\) (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.
Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1).
Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC,\) với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \(x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\) (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.
Câu hỏi trong đề:
Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 1) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì \(M\) là trung điểm của đoạn \(AD\) trên tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) (hình 1) nên \(MA = MD = \frac{1}{2}AD = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
![Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1). (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid7-1728573234.png)
Kẻ đường cao \(MH\) \(\left( {H \in AD} \right)\) của tam giác \(AMD.\) Khi đó đường cao \(MH\) của \(\Delta AMD\) cân tại \(M\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(H\) là trung điểm của \(AD,\) do đó \(HD = \frac{{AD}}{2} = \frac{x}{2}\) \[\left( {0 < x < 6} \right).\]
Xét \(\Delta MHD\) vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore, ta có: \(M{D^2} = M{H^2} + H{D^2}\)
Suy ra \[MH = \sqrt {M{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Diện tích \(\Delta AMD\) là: \({S_{\Delta AMD}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2} = \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{4}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Thể tích hình lăng trụ đứng tam giác \[AMD.BNC\] là:
\(V = {S_{\Delta AMD}} \cdot MN = \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{4} \cdot 10 = \frac{5}{2}x\sqrt {36 - {x^2}} {\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Đặt \[P = \frac{5}{2}x\sqrt {36 - {x^2}} ,\] suy ra \[{P^2} = \frac{{25}}{4}{x^2}\left( {36 - {x^2}} \right)\mathop \le \limits^{BDT\,\,Cauchuy} \frac{{25}}{4} \cdot {\left( {\frac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2}} \right)^2} = 2025.\]
Suy ra \(P \le 45\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 36 - {x^2}\) hay \(2{x^2} = 36\) nên \({x^2} = 18\), tức là \(x = 3\sqrt 2 \) (do \[0 < x < 6).\]
Vậy để thể tích không gian trong lều lớn nhất thì độ dài đoạn \(AD = 3\sqrt 2 \) (m).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho phương trình bậc hai (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Cho phương trình bậc hai (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Xem đáp án »
13/07/2024
1,803
Câu 2:
1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6\% /\)năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8\% /\)năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.
2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).
3) Biết rằng phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + a = 0\) có một nghiệm là \[x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\] Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.
1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6\% /\)năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8\% /\)năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.
2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).
3) Biết rằng phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + a = 0\) có một nghiệm là \[x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\] Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.
Xem đáp án »
10/10/2024
1,082
Câu 3:
Cho hai biểu thức:
và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh
3) Xét biểu thức P = A.B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai biểu thức:
và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh
3) Xét biểu thức P = A.B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Xem đáp án »
13/07/2024
986
Câu 4:
Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Xem đáp án »
11/07/2024
922
Câu 5:
Đầu năm 2022, hai công ty chế biến nông sản dự định xuất khẩu tổng cộng 3 000 tấn nông sản. Do thực tế dịch bệnh Covid-19 diễn biến phức tạp nên sản lượng xuất khẩu nông sản của công ty thứ nhất giảm 15% công ty thứ hai giảm 10%. Vì vậy, cả hai công ty chỉ xuất khẩu được 2 640 tấn nông sản. Hỏi ban đầu, mỗi công ty dự định xuất khẩu bao nhiêu tấn nông sản?
Đầu năm 2022, hai công ty chế biến nông sản dự định xuất khẩu tổng cộng 3 000 tấn nông sản. Do thực tế dịch bệnh Covid-19 diễn biến phức tạp nên sản lượng xuất khẩu nông sản của công ty thứ nhất giảm 15% công ty thứ hai giảm 10%. Vì vậy, cả hai công ty chỉ xuất khẩu được 2 640 tấn nông sản. Hỏi ban đầu, mỗi công ty dự định xuất khẩu bao nhiêu tấn nông sản?
Xem đáp án »
13/07/2024
771
Câu 6:
Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi Ax là tia tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm M bất kì sao cho AM > R, MB cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là K. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với MO tại I, AI cắt nửa đường tròn tại C (C khác A). Qua C kẻ CH vuông góc với CH cắt MB tại N
1) Chứng minh bốn điểm A, I, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chúng minh và IN // AB
3) Đường thẳng qua H và song song với AC cắt BI tại P. Chứng minh
Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi Ax là tia tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm M bất kì sao cho AM > R, MB cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là K. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với MO tại I, AI cắt nửa đường tròn tại C (C khác A). Qua C kẻ CH vuông góc với CH cắt MB tại N
1) Chứng minh bốn điểm A, I, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chúng minh và IN // AB
3) Đường thẳng qua H và song song với AC cắt BI tại P. Chứng minh
Xem đáp án »
11/03/2024
557
Câu 7:
Nhân ngày Quốc tế phụ nữ 8/3, bạn Hoa dự định làm một chiếc nón lá đặc biệt để tặng cô giáo dạy Toán. Chiếc nón có dạng hình nón với đường kính của đáy là 60 cm, chiều cao của nón là 40 cm. Hãy tính diện tích lá mà Hoa cần dùng để phủ kín một lớp lên bề mặt của chiếc nón? (Giả sử phần diện tích lá chồng lên nhau là không đáng kể, lấy
Nhân ngày Quốc tế phụ nữ 8/3, bạn Hoa dự định làm một chiếc nón lá đặc biệt để tặng cô giáo dạy Toán. Chiếc nón có dạng hình nón với đường kính của đáy là 60 cm, chiều cao của nón là 40 cm. Hãy tính diện tích lá mà Hoa cần dùng để phủ kín một lớp lên bề mặt của chiếc nón? (Giả sử phần diện tích lá chồng lên nhau là không đáng kể, lấy
Xem đáp án »
13/07/2024
523
về câu hỏi!