III. Vận dụng

Cho phương trình \[\frac{1}{{x + 1}} - \frac{{2{x^2} - m}}{{{x^3} + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - x + 1}}.\] Biết \[x = 0\] là một nghiệm của phương trình. Nghiệm còn lại là

Đáp án đúng là: A

Với \[x = 0,\] ta có:

\[\frac{1}{{0 + 1}} - \frac{{2 \cdot {0^2} - m}}{{{0^3} + 1}} = \frac{4}{{{0^2} - 0 + 1}}.\]

\[1 - \left( { - m} \right) = 4\]

\[1 + m = 4\]

\[m = 3.\]

Với \[m = 3,\] ta có phương trình: \[\frac{1}{{x + 1}} - \frac{{2{x^2} - 3}}{{{x^3} + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - x + 1}}\] (1)

Điều kiện xác định: \[x \ne - 1.\]

Từ (1), ta có:

\[\frac{1}{{x + 1}} - \frac{{2{x^2} - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{4}{{{x^2} - x + 1}}\]

\[\frac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \frac{{2{x^2} - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\]

\[{x^2} - x + 1 - \left( {2{x^2} - 3} \right) = 4\left( {x + 1} \right)\]

\[{x^2} - x + 1 - 2{x^2} + 3 = 4x + 4\]

\[ - {x^2} - 5x = 0\]

\[ - x\left( {x + 5} \right) = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x + 5 = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x = - 5.\]

Do đó phương trình (2) có hai nghiệm là \[x = 0\] và \[x = - 5.\]

Ta thấy, hai nghiệm \[x = 0\] và \[x = - 5\] đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (1).

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho là \[x = - 5.\]

Do đó ta chọn phương án A.