Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\] và hình nón \[\left( H \right)\] có đỉnh \[A\left( {3;2; - 2} \right)\] và nhận \[AI\] là trục đối xứng với \[I\] là tâm mặt cầu. Một đường sinh hình nón \[\left( H \right)\] cắt mặt cầu tại \[M,N\]sao cho \[AM = 3AN\]. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \[\left( S \right)\], tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \[\left( H \right).\]

Đáp án đúng là: B

Giả sử \[M\left( {x;y;z} \right).\]

Ta có: \[M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\];

\[M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\];

\[M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\].

Có \[M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\].

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\].

Vậy tập hợp các điểm \[M\] thỏa mãn \[M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\] là mặt cầu có bán kính \[R = \sqrt 2 .\]

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 3 = 0\]

\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\].

Do đó, tâm của mặt cầu là \[I\left( {2;1; - 1} \right)\].

Thay \[M\left( {4;2; - 2} \right)\] vào phương trình mặt cầu, ta được

\[{\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 + 1} \right)^2} = 6 < 9\].

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.