Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0;2;0} \right)\]. Tập hợp các điểm \[M\] thỏa mãn \[M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\] là mặt cầu có bán kính bao nhiêu?

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 3 = 0\]

\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\].

Do đó, tâm của mặt cầu là \[I\left( {2;1; - 1} \right)\].

Thay \[M\left( {4;2; - 2} \right)\] vào phương trình mặt cầu, ta được

\[{\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 + 1} \right)^2} = 6 < 9\].

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án như sau:

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\] ta có: \[a = - 1,b = - 1,c = 1,d = 4\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 1 < 0.\]

Vậy đáp án A không là phương trình mặt cầu.

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0\] ta có: \[a = - 2,b = 1,c = - 1,d = 6\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\]

Vậy đáp án B không là phương trình mặt cầu.

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0\] có: \[a = - 1,b = 3,c = - 2,d = 14\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\]

Vậy đáp án C không là phương trình mặt cầu.

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] có: \[a = - 4,b = 3,c = - 1,d = - 10\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 36 > 0.\]

Vậy đáp án D là phương trình của một mặt cầu.