Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;1} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(B\) ?

II. Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) và các đỉnh có tọa độ lần lượt là \(A\left( {3;1;2} \right),B\left( {1;0;1} \right),C\left( {2;3;0} \right)\). Tọa độ đỉnh \(D\) là

III. Vận dụng

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {5; - 1;2} \right)\), \(C\left( {3;2; - 4} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm \(M\) trong không gian \(Oxyz\) như hình bên. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Biết \(OM = 70,\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 64^\circ \), \(\left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 48^\circ \). Tìm tọa độ điểm \(M\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có các cạnh bằng 1, \(SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi \(O\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(BC\) và \(CD\). Thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

a) Tọa độ các điểm \(A,B\) là \(A\left( {0; - \frac{1}{2};0} \right),B\left( {1; - \frac{1}{2};0} \right).\)

b) Tọa độ các điểm \(C,D\) là \(C\left( {1;\frac{1}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{1}{2};0} \right).\)

c) Tọa độ điểm \(S\) là điểm \(S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\)

d) Tọa độ các điểm \(M,N\) là \(M\left( {1;0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right).\)

Khi đó, số mệnh đề đúng trong các mệnh đề là:

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = 2a\), \(OC = a\sqrt 2 \). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AB} \left( {m;n;p} \right)\). Khi \(a = 1\) hãy tính giá trị của biểu thức \(T = m + n + p.\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 7\overrightarrow k \). Tìm tọa độ của điểm đối xứng \(M'\) của \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Tọa độ của \(H'\) đối xứng với \(H\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là