Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = \(\sqrt 2 a\), AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA =\(\sqrt 2 a\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = \(\sqrt 2 a\), AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA =\(\sqrt 2 a\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)?
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Khi đó \(\left( {MPQ} \right)//\left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right)\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ \( \Rightarrow NH \bot \left( {MPQ} \right)\).
Suy ra: \(\left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right) = \widehat {NMH}\).
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{NH}} = \frac{{2\;{{\rm{S}}_{{\rm{NPQ}}}}}}{{{\rm{PQ}}}} = \frac{{2.\frac{1}{4}\;{{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}}}}{{\frac{{{\rm{AC}}}}{2}}} = \frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}{\rm{.BC}}}}{{\sqrt {{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}} }} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 .2{\rm{a}}}}{{{\rm{a}}\sqrt 6 }} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 3 }}}\\{{\rm{MN}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{N}}^2}} = \sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{a}}^2}} = {\rm{a}}\sqrt 2 }\end{array}} \right.\) .
Suy ra: \({\rm{MH}} = \sqrt {{\rm{M}}{{\rm{N}}^2} - {\rm{N}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} - {{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 {\rm{a}}}}{3}\).
Suy ra \(\cos \widehat {{\rm{NMH}}} = \frac{{{\rm{MH}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 6 }}{3}:{\rm{a}}\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Chọn B.
Đang tải chế độ Học...
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Diện tích hình vuông là: \({\rm{S}} = {4^2} = 16\;{{\rm{m}}^2}\).
Gọi \({{\rm{S}}_3}\) là phần diện tích còn lại (không tô đậm).
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:
Do \({\rm{I}}(0;4)\) là đỉnh của parabol \(({\rm{P}})\) nên có phương trình: \(y = a{x^2} + 4\).
Mà \(B\left( {2;0} \right) \in (P)\) nên ta có \(4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\). Do đó \((P):y = - {x^2} + 4\).
Ta có \({\rm{B}}(2;0),{\rm{D}}( - 2;4) \Rightarrow \) phương trình đường thẳng DB : \({\rm{y}} = - {\rm{x}} + 2\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\( - {x^2} + 4 = - x + 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array} \Rightarrow M( - 1;3)} \right.\). Khi đó:
\({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 4} \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right]dx = } \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)dx = } \frac{9}{2}\;\left( {{m^2}} \right)\);
\({S_2} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( { - {x^2} + 4} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - x + 2} \right)dx = \frac{{37}}{6}\left( {{m^2}} \right)} \).
\({S_3} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 16 - \left( {\frac{9}{2} + \frac{{37}}{6}} \right) = \frac{{16}}{3}\;\left( {{m^2}} \right)\).
Suy ra tổng tiền:
\({\rm{T}} = \frac{9}{2} \cdot 200000 + \frac{{37}}{6} \cdot 150000 + \frac{{16}}{3} \cdot 100000 = 2358333,(3) \approx 2,36\) triệu đồng. Chọn B.
Câu 2
Lời giải
Ta có công thức: \({T_n} = T{\left( {1 + r} \right)^n} - t.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\)
với T = 500 triệu đồng, r = 0,6% / tháng, n = 5.12 = 60 tháng, t = 2 triệu đồng.
Suy ra:
\({T_{60}} = 500{\left( {1 + 0,6\% } \right)^{60}} - 2.\frac{{{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^{60}} - 1}}{{0,6\% }} \approx 571,97\) gần nhất với 571 triệu đồng. Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(y = \frac{{x + 3}}{x}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập