Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = \(\sqrt 2 a\), AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA =\(\sqrt 2 a\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = \(\sqrt 2 a\), AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA =\(\sqrt 2 a\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)?
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Khi đó \(\left( {MPQ} \right)//\left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right)\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ \( \Rightarrow NH \bot \left( {MPQ} \right)\).
Suy ra: \(\left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right) = \widehat {NMH}\).
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{NH}} = \frac{{2\;{{\rm{S}}_{{\rm{NPQ}}}}}}{{{\rm{PQ}}}} = \frac{{2.\frac{1}{4}\;{{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}}}}{{\frac{{{\rm{AC}}}}{2}}} = \frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}{\rm{.BC}}}}{{\sqrt {{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}} }} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 .2{\rm{a}}}}{{{\rm{a}}\sqrt 6 }} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 3 }}}\\{{\rm{MN}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{N}}^2}} = \sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{a}}^2}} = {\rm{a}}\sqrt 2 }\end{array}} \right.\) .
Suy ra: \({\rm{MH}} = \sqrt {{\rm{M}}{{\rm{N}}^2} - {\rm{N}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} - {{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 {\rm{a}}}}{3}\).
Suy ra \(\cos \widehat {{\rm{NMH}}} = \frac{{{\rm{MH}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 6 }}{3}:{\rm{a}}\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Diện tích hình vuông là: \({\rm{S}} = {4^2} = 16\;{{\rm{m}}^2}\).
Gọi \({{\rm{S}}_3}\) là phần diện tích còn lại (không tô đậm).
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:
Do \({\rm{I}}(0;4)\) là đỉnh của parabol \(({\rm{P}})\) nên có phương trình: \(y = a{x^2} + 4\).
Mà \(B\left( {2;0} \right) \in (P)\) nên ta có \(4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\). Do đó \((P):y = - {x^2} + 4\).
Ta có \({\rm{B}}(2;0),{\rm{D}}( - 2;4) \Rightarrow \) phương trình đường thẳng DB : \({\rm{y}} = - {\rm{x}} + 2\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\( - {x^2} + 4 = - x + 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array} \Rightarrow M( - 1;3)} \right.\). Khi đó:
\({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 4} \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right]dx = } \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)dx = } \frac{9}{2}\;\left( {{m^2}} \right)\);
\({S_2} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( { - {x^2} + 4} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - x + 2} \right)dx = \frac{{37}}{6}\left( {{m^2}} \right)} \).
\({S_3} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 16 - \left( {\frac{9}{2} + \frac{{37}}{6}} \right) = \frac{{16}}{3}\;\left( {{m^2}} \right)\).
Suy ra tổng tiền:
\({\rm{T}} = \frac{9}{2} \cdot 200000 + \frac{{37}}{6} \cdot 150000 + \frac{{16}}{3} \cdot 100000 = 2358333,(3) \approx 2,36\) triệu đồng. Chọn B.
Câu 2
Lời giải
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập