Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có A′B = 4a. Gọi M là trung điểm của cạnh BB′ và \(CM = a\sqrt 2 \). Biết khoảng cách giữa \(A'B\) và \(CM\) bằng a và góc tạo bởi hai đường thẳng A′B và CM là \(30^\circ \) (tham khảo hình bên), thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ bằng
A. \(2\sqrt 2 {a^3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi N là trung điểm của A′B′, khi đó: \(MN//A'B\).
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}MN = \frac{{A'B}}{2} = 2a\\(A\prime B,CM) = (NM,CM) = \widehat {CMN} = 30^\circ \end{array} \right.\) .
Ta có \({S_{CMN}} = \frac{1}{2}.CM.MN.\sin \widehat {CMN} = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .2a.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^2}\).
Vì \(A'B//\left( {CMN} \right)\)nên \(d\left( {A'B,CM} \right) = d\left( {A'B,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {CMN} \right)} \right) = a\).
Khi đó: \[{V_{B.CMN}} = \frac{1}{3}d\left( {B,\left( {CMN} \right)} \right).{S_{CMN}} = \frac{1}{3}a.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\] (∗)
Ta có: \[{S_{BMN}} = \frac{1}{2}{S_{BNB\prime }} = \frac{1}{4}{S_{A\prime BB\prime }} \Rightarrow {V_{B.CMN}} = {V_{C.BMN}} = \frac{1}{4}{S_{C.A\prime BB\prime }} = \frac{1}{4}.\frac{1}{3}.{V_{ABC.A\prime B\prime C\prime }}\].
\[ \Rightarrow {V_{ABC.A\prime B\prime C\prime }} = 12{V_{B.CMN}} = 12.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = 2\sqrt 2 {a^3}\] . Chọn A.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Diện tích hình vuông là: \({\rm{S}} = {4^2} = 16\;{{\rm{m}}^2}\).
Gọi \({{\rm{S}}_3}\) là phần diện tích còn lại (không tô đậm).
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:
Do \({\rm{I}}(0;4)\) là đỉnh của parabol \(({\rm{P}})\) nên có phương trình: \(y = a{x^2} + 4\).
Mà \(B\left( {2;0} \right) \in (P)\) nên ta có \(4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\). Do đó \((P):y = - {x^2} + 4\).
Ta có \({\rm{B}}(2;0),{\rm{D}}( - 2;4) \Rightarrow \) phương trình đường thẳng DB : \({\rm{y}} = - {\rm{x}} + 2\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\( - {x^2} + 4 = - x + 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array} \Rightarrow M( - 1;3)} \right.\). Khi đó:
\({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 4} \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right]dx = } \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)dx = } \frac{9}{2}\;\left( {{m^2}} \right)\);
\({S_2} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( { - {x^2} + 4} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - x + 2} \right)dx = \frac{{37}}{6}\left( {{m^2}} \right)} \).
\({S_3} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 16 - \left( {\frac{9}{2} + \frac{{37}}{6}} \right) = \frac{{16}}{3}\;\left( {{m^2}} \right)\).
Suy ra tổng tiền:
\({\rm{T}} = \frac{9}{2} \cdot 200000 + \frac{{37}}{6} \cdot 150000 + \frac{{16}}{3} \cdot 100000 = 2358333,(3) \approx 2,36\) triệu đồng. Chọn B.
Câu 2
Lời giải
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập