Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) với đáy là hình thoi có cạnh bằng 4a, \(AA' = 6a\), \(\widehat {BCD} = 120^\circ \). Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của \(AB'\), \(B'C\), \(BD'\). Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, K.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi V là thể tích của khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\).
Gọi \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\) lần lượt là giao điểm của \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) và mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\).
Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) là: \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{4}V\).
Gọi \({V_1}\), \({V_2}\), \({V_3}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện \(A.{A_1}MK\), \(B.{B_1}MN\), \(C.{C_1}NK\).
Ta có:
+) \({V_1} = {V_{A.{A_1}MK}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta {A_1}MK}}.A{A_1} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}.A{A_1}\)
\( = \frac{1}{{12}}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{{12}}.\frac{1}{4}V = \frac{1}{{48}}V\).
+) \({V_2} = {V_{B.{B_1}MN}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta {B_1}MN}}.B{B_1} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{S_{\Delta {B_1}{A_1}{C_1}}}.B{B_1}\)
\( = \frac{1}{{12}}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{{12}}.\frac{1}{4}V = \frac{1}{{48}}V\).
+) \({V_3} = {V_{C.{C_1}NK}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta {C_1}NK}}.C{C_1} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{S_{\Delta {C_1}{B_1}{A_1}}}.C{C_1}\)
\( = \frac{1}{{12}}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{{12}}.\frac{1}{4}V = \frac{1}{{48}}V\).
+) \(V = {S_{ABCD}}.A'A = 2{S_{\Delta BCD}}.A'A = 2.\frac{1}{2}.\left( {4a} \right).\left( {4a} \right).\sin 120^\circ .\left( {6a} \right) = 48{a^3}\sqrt 3 \).
Do đó, thể tích khối đa diện lồi ABCMNK là
\({V_{ABCMNK}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} - \left( {{V_1} + {V_2} + {V_3}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}V - 3.\frac{1}{{48}}V = \frac{3}{{16}}V = \frac{3}{{16}}.48{a^3}\sqrt 3 = 9{a^3}\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{ABCMNK}} = 9{a^3}\sqrt 3 \). Chọn C.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Gọi N là trung điểm AB. Kẻ \(AH \bot SN\).
Vì \(MN//AC\), \(MN \subset \left( {SMN} \right)\) nên \(AC//\left( {SMN} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {SM,AC} \right) = d\left( {AC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\).
Vì \(\left. \begin{array}{l}MN//AC\\AC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot AB\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot MN\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AB\\MN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AH\).
Mà \(AH \bot SN\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {SM,AC} \right) = AH\).
Lại có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{13}}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {39} a}}{{13}}\). Chọn C.
Câu 2
A. 18,66 \(d{m^3}\).
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) quay quanh trục Ox là:
\[V = \pi \int\limits_{ - a}^a {\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \left( {{a^2} - {x^2}} \right)dx = \left. {\frac{{\pi {b^2}}}{{{a^2}}}\left[ {{a^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_{ - a}^a = \frac{4}{3}\pi a{b^2}\].
Rìa trong của Lavabo là một elip có bán trục lớn \(a = \frac{{660}}{2} - 20 = 310mm = 3,1dm\), bán trục nhỏ \(a = \frac{{380}}{2} - 20 = 170mm = 1,7dm\).
Áp dụng công thức tính thể tích khi qua elip quanh trục lớn, ta có \(V = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi a{b^2} \approx 18,76d{m^3}\). Chọn B.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{36}}{{385}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập