Có bao nhiêu số phức \(z = xi + y,\left( {x,y \in \mathbb{Z}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 1 - i} \right| \ge 2\\\left| {{z^2} - z + 1 - i} \right| \le 4\end{array} \right.\)?

Ta có: \({z^2} - z + 1 - i = \left( {{z^2} - 2z + 2} \right) + \left( {z - 1 - i} \right)\)

\( = \left( {z - 1 - i} \right)\left( {z - 1 + i} \right) + \left( {z - 1 - i} \right) = \left( {z - 1 - i} \right)\left( {z + i} \right)\).

 Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 1 - i} \right| \ge 2\\\left| {{z^2} - z + 1 - i} \right| \le 4\end{array} \right.\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 1 - i} \right| \ge 2\\\left| {\left( {z - 1 - i} \right)\left( {z + i} \right)} \right| \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 1 - i} \right| \ge 2\\\left| {z + i} \right| \le 2\end{array} \right.\left( {**} \right)\).

Xét \(\left| {z - 1 - i} \right| \ge 2\) có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền ngoài hình tròn (kể cả biên) \(\left( {{C_1}} \right)\) có \({I_1}\left( {1;1} \right)\), \({R_1} = 2\).

Xét \(\left| {z + i} \right| \le 2\) có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong hình tròn (kể cả biên) \(\left( {{C_2}} \right)\) có \({I_2}\left( {0; - 1} \right)\), \({R_2} = 2\).

\( \Rightarrow \) Tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left( {**} \right)\) là miền tô đậm như hình vẽ.

Do đó có 10 điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn \(\left( {**} \right)\) là:

\(\left( { - 2; - 1} \right)\), \(\left( { - 1;0} \right)\), \(\left( { - 1; - 1} \right)\), \(\left( { - 1; - 2} \right)\), \(\left( {0; - 1} \right)\), \(\left( {0; - 2} \right)\), \(\left( {0; - 3} \right)\), \(\left( {1; - 1} \right)\), \(\left( {1; - 2} \right)\), \(\left( {2; - 1} \right)\).

Thử lại vào điều kiện \(\left( * \right)\) ta được 5 điểm thoả mãn là:

\(\left( { - 1;0} \right)\), \(\left( { - 1; - 1} \right)\), \(\left( {0; - 1} \right)\), \(\left( {0; - 2} \right)\), \(\left( {1; - 1} \right)\). Vậy có tất cả 5 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn D.