Một khối gỗ hình trụ có đường kính \(1\,\,m\) và cao \(2\,\,m\). Người ta đã cắt bằng một mặt phẳng bỏ đi một phần khối gỗ, phần còn lại như hình vẽ bên dưới có thể tích là \(V = \frac{p}{q}\pi \,\,\left( {{m^3}} \right)\) (với \(\frac{p}{q}\) là phân số tối giản, \(q > 0\)). Tích \(pq\) bằng (1) ___.

Anh sinh viên vay hàng tháng a = 3 triệu đồng từ tháng 9/2020 đến hết tháng 8/2022, tổng cộng 24 tháng.

Cuối tháng thứ 1: \({T_1} = a + ar = a\left( {1 + r} \right)\).

Cuối tháng thứ 2: \({T_2} = {T_1} + a + \left( {{T_1} + a} \right).r = a.{\left( {1 + r} \right)^2} + a.\left( {1 + r} \right)\).

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng n: \({T_n} = a.{\left( {1 + r} \right)^n} + a{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} + ... + a.\left( {1 + r} \right)\).

Suy ra \({T_n} = a.\left( {1 + r} \right).\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\).

Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng 8/2022 là

\({T_{24}} = 3.\left( {1 + 0,8\% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 0,8\% } \right)}^{24}} - 1}}{{0,8\% }} \approx 79,662\) triệu.

Tính từ cuối tháng 8/2022 anh sinh viên T thiếu ngân hàng A = 79,662 triệu và bắt đầu trả hàng tháng \(m = 2\) triệu từ tháng 9/2022 đến tháng 6/2024, tổng cộng được 22 tháng.

Đầu tháng 9/2022, còn nợ A – m = 79,662 – 2 = 77,662 triệu.

Cuối tháng 9/2022, tiền nợ có lãi đến cuối tháng \({T_1} = 77,662\left( {r + 1} \right)\).

Đầu tháng 10/2022 sau khi trả nợ m thì còn nợ 77,662(r + 1) – m.

Cuối tháng 10/2022, còn nợ \({T_2} = \left[ {\left( {77,662} \right)\left( {r + 1} \right) - m} \right]\left( {1 + r} \right) = 77,662{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right)\)

Cuối tháng 11/2022, còn nợ \({T_3} = 77,662{\left( {1 + r} \right)^3} - m{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right)\).

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng 6/2024 còn nợ

\({T_{22}} = 77,662{\left( {1 + r} \right)^{22}} - m{\left( {1 + r} \right)^{21}} - m{\left( {1 + r} \right)^{20}} - ... - m\left( {1 + r} \right)\)

\( = 77,662{\left( {1 + r} \right)^{22}} - m.\left( {1 + r} \right).\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{21}} - 1}}{r}\)

\( = 77,662.{\left( {1 + 0,8\% } \right)^{22}} - 2.\left( {1 + 0,8\% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 0,8\% } \right)}^{21}} - 1}}{{0,8\% }} \approx 46,64\) triệu đồng. Chọn B.

Từ bảng biến thiên ta thấy:

+ Hàm số có 2 điểm cực trị là \(x = 1\) và \(x = 3\).

+ \(f'\left( x \right) < 0\) với \(x \in \left( {1;3} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( {2;3} \right)\) (do \(\left( {2;3} \right) \subset \left( {1;3} \right)\) ).

+ Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\) (do khi \(x \to - \infty \) thì \(f\left( x \right) \to - \infty \)).

+ \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 1\) nên \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số.

Do đó ta chọn đáp án như sau