Một chất điểm chuyển động với quãng đường được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giây \(\left( s \right)\) và quãng đường \(s\) được tính bằng mét \(\left( m \right)\).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Tại thời điểm \(t = 3\), chất điểm chuyển động với gia tốc bằng ___ m/s².

Tại thời điểm \(t = 2\), chất điểm chuyển động với vận tốc bằng ___ m/s.

Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất bằng ___ m/s.

Gọi \(l\) là chiều cao của khối trụ cần tìm ta có \(l = 2.\frac{4}{3}h = \frac{8}{3}h.\)

Cắt chiếc đồng hồ cát theo một mặt phẳng chứa trục dọc của nó và gắn hệ trục \(Oxy\) với gốc tọa độ \(O\) là điểm giao giữa hai Parabol, mỗi đơn vị trên trục dài \(1cm.\) Khi đó gọi \(B\) là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc ban đầu, \(A\) là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc còn 4 cm và \(C\) là điểm nằm ngang với \(A\) trên thành Parabol phía trên như hình vẽ.

Theo giả thiết \(8\pi = 2\pi AC \Rightarrow AC = 4 \Rightarrow C\left( {4;4} \right)\) suy ra \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}.\)

Thể tích ban đầu của cát là \(12,72.10 = 127,2\,\,c{m^3}.\)

Thể tích này bằng thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4y\) và các đường \(y = 0;y = h\) xoay quanh trục \(Oy.\)

Vậy ta có \(\pi \int\limits_0^h {4ydy} = 127,2 \Rightarrow 2\pi {h^2} = 127,2 \Rightarrow h \approx 4,5 \Rightarrow l \approx 12cm.\) Chọn D.

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_8^2\).

Gọi biến cố \(A\): "Lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5".

Hai quả cầu ghi số có tổng bằng 5 thì số trên 2 quả là 1 và 4 hoặc 2 và \(3 \Rightarrow n\left( A \right) = 2 + 2 = 4\).

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{4}{{C_8^2}} = \frac{1}{7}\).

b) Nhận thấy trong 8 quả cầu đã cho, có 2 quả ghi số chia hết cho 3 là 3 và \(6;6\) quả còn lại ghi số không chia hết cho 3.

Giả sử rút ra \(x\) quả \((1 \le x \le 8,x \in \mathbb{N}\) ). Lấy ngẫu nhiên \(x\) quả từ 8 quả trong hộp thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_8^x\).

Gọi biến cố \(A\) : "Trong \(x\) quả lấy ra có ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 ".

Biến cố đối của \(A\) là \(\overline A \) : "Trong \(x\) quả lấy ra không có quả nào ghi số chia hết cho 3" \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_6^x\).

\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_6^x}}{{C_8^x}} = \frac{{6!}}{{x!\left( {6 - x} \right)!}}:\frac{{8!}}{{x!\left( {8 - x} \right)!}} = \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}}\).

Theo đề bài

\(P\left( A \right) > \frac{3}{4} \Rightarrow 1 - P\left( {\overline A } \right) > \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 - \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}} > \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 15x + 42 < 0\)

\( \Leftrightarrow 3,7 \approx \frac{{15 - \sqrt {57} }}{2} < x < \frac{{15 + \sqrt {57} }}{2} \approx 11,3\) mà \(1 \le x \le 8,x \in \mathbb{N}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của \(x\) là 4 .

Vậy cần phải lấy ít nhất 4 quả cầu.

Do đó ta điền đáp án như sau

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì xác suất để lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5 là \(\frac{1}{7}\).

b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một số quả cầu. Cần phải lấy ít nhất 4  quả cầu để xác suất lấy được ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 lớn hơn \(\frac{3}{4}\).