Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng \(y = 9x - 14\) sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\)?

Gọi \(M\left( {a;9a - 14} \right) \in d:y = 9x - 14.\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và có hệ số góc \(k\) \( \Rightarrow \) phương trình \(\Delta :y = k\left( {x - a} \right) + 9a - 14.\)

Ta có \(\Delta \) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 3\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3x + 2 = k\left( {x - a} \right) + 9a - 14\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta có

\({x^3} - 3x + 2 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right) + 9a - 14 \Leftrightarrow 2{x^3} - 3a{x^2} + 12a - 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {2{x^2} + \left( {4 - 3a} \right)x + 8 - 6a} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\2{x^2} + \left( {4 - 3a} \right)x + 8 - 6a = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\).

Để từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến thì (3) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc (3) phải có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{\left( 3 \right)}} = 9{a^2} + 24a - 48 = 0\\8 + \left( {4 - 3a} \right)2 + 8 - 6a \ne 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{\left( 3 \right)}} = 9{a^2} + 24a - 48 > 0\\8 + \left( {4 - 3a} \right)2 + 8 - 6a = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\a = - 4\end{array} \right.\\a \ne 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a < - 4\\a > \frac{4}{3}\end{array} \right.\\a = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\a = - 4\\\\a = 2\end{array} \right.\).

Vậy có ba điểm thỏa mãn bài toán. Chọn C.