Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\). Gọi \({w_1};{w_2}\) là hai trong các số phức \(w\) thỏa mãn \(w = \frac{{z + 2 + 3i}}{{1 + iz}}\) và \(\left| {{w_1} - {w_2}} \right| = 4\). Môđun của số phức \({w_1} + {w_2} + 2i\) bằng 

Giải thích

Ta có: \(w = \frac{{z + 2 + 3i}}{{1 + iz}}\)

    \( \Leftrightarrow w\left( {1 + iz} \right) = z + 2 + 3i\)

\( \Leftrightarrow z\left( {1 - iw} \right) = w - 2 - 3i\)

\( \Leftrightarrow z = \frac{{w - 2 - 3i}}{{1 - iw}}\)

Khi đó, \(\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{w - 2 - 3i}}{{1 - iw}} - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{ - 2 - 4i}}{{1 - iw}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {1 - iw} \right| = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {w + i} \right| = 2\sqrt 5 \)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {0; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).

Gọi \(M,N\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({w_1};{w_2} \Rightarrow M,N \in \left( C \right)\).

Vì \(\left| {{w_1} - {w_2}} \right| = 4\) nên \(MN = 4\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow MH = 2\).

Khi đó, \(IH = \sqrt {I{M^2} - M{H^2}}  = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}}  = 4\).

Mặt khác, \(\left| {{w_1} + {w_2} + 2i} \right| = \left| {{w_1} + i + {w_2} + i} \right| = \left| {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {IN} \left|  =  \right|2\overrightarrow {IH} } \right| = 8\).

 Chọn A