III. Vận dụng

Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] có hai dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau tại \[M.\] Giả sử \[AB = 16{\rm{\;cm}},CD = 12{\rm{\;cm}},MC = 2{\rm{\;cm}}.\] Kẻ \[OH \bot AB\] tại \[H,\] \[OK \bot CD\] tại \[K.\] Khi đó diện tích tứ giác \[OHMK\] bằng

Đáp án đúng là: C

Tam giác \[OAB\] cân tại \[O\] (do \[OA = OB = R)\] có \[OH\] là đường cao nên \[OH\] cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \[H\] là trung điểm \[AB.\]

Vì vậy \[HA = HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Chứng minh tương tự, ta được \[KC = KD = \frac{{CD}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Ta có \[KC = KM + MC.\] Suy ra \[KM = KC - MC = 6 - 2 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Tứ giác \[OHMK\] có: \[\widehat {OKM} = \widehat {KMH} = \widehat {OHM} = 90^\circ \] nên tứ giác \[OHMK\] là hình chữ nhật.

Do đó \[OH = KM = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OHB\] vuông tại \[H,\] ta được:

\[O{B^2} = O{H^2} + H{B^2} = {4^2} + {8^2} = 80\]. Suy ra \[R = OB = 4\sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OKD\] vuông tại \[K,\] ta được: \[O{D^2} = O{K^2} + K{D^2}.\]

Suy ra \[O{K^2} = O{D^2} - K{D^2} = {R^2} - K{D^2} = {\left( {4\sqrt 5 } \right)^2} - {6^2} = 44\]

Do đó \[OK = 2\sqrt {11} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy diện tích hình chữ nhật \[OHMK\] là: \[S = KM \cdot OK = 4 \cdot 2\sqrt {11} = 8\sqrt {11} {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Do đó ta chọn phương án C.