Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = \frac{1}{2}\sqrt x \) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

b) Ta có \(\int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {8{x^3} + \sin x} \right)dx} = 2{x^4} - \cos x + {C_1}\).

Vì \(f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow {C_1} = 4\). Do đó \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 4\).

c) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 4} \right)} dx = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C\).

d) Có \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C\) và \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + 2\). Vậy \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2;1;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) ta được \(2.2 - 1 - 2.3 + 19 = 16 \ne 0\).

Do đó \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) không đi qua điểm \(M\left( {2;1;3} \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{P'}}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_{P'}}} \\1 \ne 19\end{array} \right.\) nên \(\left( P \right)//\left( {P'} \right)\).

c) \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{3} > 6\).

d) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng: \(2x - y - 2z + D = 0\left( {D \ne 19} \right)\).

Ta có \(A\left( {0;19;0} \right) \in \left( P \right)\) nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 19 + D} \right|}}{3} = 5\)

\( \Leftrightarrow \left| { - 19 + D} \right| = 15\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 19 + D = 15\\ - 19 + D = - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 34\\D = 4\end{array} \right.\).

TH1: \(\left( Q \right):2x - y - 2z + 34 = 0\)

Có \(d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {34} \right|}}{3} = \frac{{34}}{3}\).

TH2: \(\left( Q \right):2x - y - 2z + 4 = 0\)

Có \(d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{3} = \frac{4}{3}\).