Cho hai biểu thức: \[A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\].

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(B\).

b) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 25.\]

c) Biết \[P = \frac{A}{B}\], chứng minh rằng \[P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.\]

d) Tìm giá trị nguyên của \[x\] để biểu thức \[P\] nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ge 0\) ta có:

⦁ \[\sqrt x - 2 \ne 0\] khi \(\sqrt x \ne 2\) hay \(x \ne 4.\)

⦁ \(x - 2\sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)\)

Do đó \(x - 2\sqrt x \ne 0\) khi \(\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) \ne 0,\) hay \(\sqrt x \ne 0\) và \(\sqrt x - 2 \ne 0\) tức là \(x \ne 0,\,\,x \ne 4.\)

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức \[A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\] là \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] và điều kiện xác định của biểu thức \[B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\] là \[x > 0,\,\,x \ne 4.\]

b) Thay \[x = 25\] (thỏa mãn điều kiện \[x > 0,\,\,x \ne 4)\] vào biểu thức \[A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\], ta có:

\[A = \frac{2}{{\sqrt {25} - 2}} = \frac{2}{{5 - 2}} = \frac{2}{3}.\]

Vậy \[A = \frac{2}{3}\] khi \[x = 25\].

c) Với \[x > 0,\,\,x \ne 4\], ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]

 \[ = \frac{{\sqrt x + 3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

Với \[x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}\], ta có:

\[P = \frac{A}{B} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]

 \[ = \frac{2}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\left( {2\sqrt x - 3} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}\].

Vậy với \[x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}\] thì \[P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.\]

d) Với \[x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}\] ta có: \[P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.\]

Suy ra \[2P = \frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{3}{{2\sqrt x - 3}}.\]

Với \(x \in \mathbb{Z},\) để \(2P\) có giá trị là số nguyên thì \(3 \vdots \left( {2\sqrt x - 3} \right)\)

Hay \(2\sqrt x - 3 \in \)Ư\[\left( 3 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3;\,\, - 3} \right\}.\]

Với \[x > 0\] ta có \(2\sqrt x - 3 > - 3\) nên \[2\sqrt x - 3 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[P\] nhận giá trị nguyên thì \[x \in \left\{ {1;\,\,9} \right\}\].