Trong không gian, cho hình hộp $ABCD\,A'B'C'D'$. Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AA'}$là

Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ với $x > - 1$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm $I\left( { - 1; - 1} \right)$, biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là ${x_0} = \frac{1}{{\sqrt[n]{a}}} - b$ (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức $P = a \cdot n + b$.

Cho hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ (với tham số $m$). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Khi $m = 1$ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Khi $m = 1$ thì trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$.

c) $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Có 1 giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $- 1$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

c) $f\left( {{{\sin }^2}x} \right) < f\left( {\frac{3}{2}} \right)$.

d) Hàm số $y = f\left( {2 - 3x} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 10 m, chiều rộng là 6m và chiều cao là 4 m. Một chiếc quạt được treo trên trần nhà sao cho là điểm chính giữa của phòng học.

Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$có gốc ($O \equiv A$)  trùng với một góc phòng và mặt phẳng ($Oxy$) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét .  Gọi  $I(a;b;c)$là tọa độ của điểm treo quạt. Tính giá trị $a + b + c$?

Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $SB$ vuông góc với đáy và $SB = \sqrt 3 a$. Góc giữa hai vectơ $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)$ là