Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right.\) (m là tham số).

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.

a) Khi m = 2 thì hệ phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x + y = 3\end{array} \right.\).

Từ x + y = 2 ta có x = 2 – y.

Thế x = 2 – y vào phương trình 2x + y = 3 ta được 2(2 – y) + y = 3 hay 4 – y = 3, suy ra y = 1.

Với y = 1 thì x = 1.

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệp (1; 1) khi m = 2.

b) Có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right.\)

Từ phương trình (m – 1)x + y = 2 suy ra y = 2 – (m – 1)x

Thay y = 2 – (m – 1)x vào phương trình mx + y = m + 1, ta được:

mx + 2 – (m – 1)x = m + 1 hay 2 + x = m + 1 suy ra x = m – 1.

Thay x = m – 1 vào y = 2 – (m – 1)x được y = 2 – (m – 1)².

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²).

Có 2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = −m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với mọi m.

Vậy với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.