Hai tổ công nhân cùng làm một công việc và dự định hoàn thành công việc trong 6 giờ. Nhưng khi làm chung được 5 giờ thì tổ II được điều đi làm việc khác. Do cải tiến cách làm nên năng suất của tổ I tăng 1,5 lần nên tổ I đã hoàn thành nốt phần công việc còn lại trong 2 giờ. Hỏi với năng suất ban đầu, tổ II làm một mình trong bao lâu thì xong công việc?

Gọi x, y lần lượt là số ngày để đổi I và đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình (x, y > 0).

Mỗi ngày đội I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc) và đội II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình \(\frac{1}{x}\) = 1,5.\(\frac{1}{y}\) hay

\(\frac{1}{x}\) = \(\frac{3}{2}.\frac{1}{y}\) (1).

Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày, hai đội làm chung được \(\frac{1}{{24}}\) (công việc). Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{3}{2}.\frac{1}{y}\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\end{array} \right.\)

Đặt u = \(\frac{1}{x}\) và v = \(\frac{1}{y}\) thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{3}{2}v\\u + v = \frac{1}{{24}}\end{array} \right.\)

Thế u = \(\frac{3}{2}\)v vào phương trình u + v = \(\frac{1}{{24}}\) được \(\frac{3}{2}\)v + v = \(\frac{1}{{24}}\) hay \(\frac{5}{2}\)v = \(\frac{1}{{24}}\) suy ra

v = \(\frac{1}{{60}}\).

Do đó, u = \(\frac{3}{2}\)v = \(\frac{3}{2}\).\(\frac{1}{{60}}\) = \(\frac{1}{{40}}\).

Từ đó, ta có: u = \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{{40}}\) suy ra u = 40; v = \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{1}{{60}}\) suy ra y = 60.

Các giá trị tìm được của x và y đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong 40 ngày, còn đội II làm xong trong 60 ngày.