Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}\).

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

b) Biết \(f\left( 0 \right) = 3\). Khi đó, \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x} } + C\), với \(C\) là hằng số.

d) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó, \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right){\rm{dt}}} \)\( = - \frac{4}{5}{t^2} + C\).

Ta có \(72\,{\rm{km/h}} = 20\,{\rm{m/s}}\). Vì \(v\left( 0 \right) = 20\) nên \(C = 20\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20\).

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng \(0\) nên \( - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5\).

Quãng đường cần tìm là \(s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)} \,{\rm{dt}}\)\( = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5\)\( = \frac{{200}}{3}\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\). Chọn C.

+) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập là: \[f\left( {60} \right) = 27,321529\,\,\left( \% \right)\].

+) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm \[10\% \] số gia đình của Hoa Kỳ.

Tổng thu nhập của \[30\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2,3\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {30} \right) = 8,561476\,\,\left( \% \right)\].

Tổng thu nhập của \[20\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {20} \right) = 5,774409\,\,\,\left( \% \right)\].

\[ \Rightarrow \] Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ \[3\] so với toàn bộ các gia đình là:

\[f\left( {30} \right) - f\left( {20} \right) = 2,787067\,\,\left( \% \right)\].

+) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm \[2005\] là diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị \[y = x\]; \[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2}\] và hai đường thẳng \(x = 0;x = 100\).

\[ \Rightarrow S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \].

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta thấy phương trình \[{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x = 0\] có hai nghiệm \[x = a\,;x = b\,\,\left( {a < b} \right)\] thuộc \[\left[ {0\,;100} \right]\].

Xét dấu biểu thức \[g\left( x \right) = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x\] ta được:

Vậy \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^a {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_0^a {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].

Cách 2.

Sử dụng máy tính cầm tay ta được: \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9\].

Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: \[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} = 2059,3131\].

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm \(2005\) là:

\[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9 > 2000\].

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                       d) Đúng.