Câu hỏi:

06/01/2025 173

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$. $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ thỏa mãn $F\left( 3 \right) = 2$ và $F\left( 0 \right) = 1$.

a) Hiệu số $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$ gọi là tích phân từ $3$ đến $0$ của hàm số $f\left( x \right)$.

b) $\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

c) $\int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 1$.

d) Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 3$ có diện tích bằng 1.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {2t - 7} \right){\rm{d}}t} = {t^2} - 7t + C\].

Mà $v\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow C = 6$. Vậy $v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 6$ (m/s).

Ta có $v\left( 7 \right) = {7^2} - 7 \cdot 7 + 6 = 6$ (m/s).

Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 7$ là

$S = \int\limits_1^7 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_1^7 {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t} \right)} \right|_1^7 = - 18$.

Tọa độ của chất điểm tại thời điểm $t$ là $x\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right){\rm{d}}t} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t + C'$.

Ta cần tìm thời điểm $t$ để $x\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất với $t \in \left[ {0;\,8} \right]$.

Ta có $x'\left( t \right) = v\left( t \right) = 0$ khi $t = 1$ hoặc $t = 6$.

Lại có $x\left( 0 \right) = C'$, $x\left( 1 \right) = \frac{{17}}{6} + C'$, $x\left( 6 \right) = - 18 + C'$, $x\left( 8 \right) = - \frac{{16}}{3} + C'$.

Vậy giá trị lớn nhất của $x\left( t \right)$ với $t \in \left[ {0;\,8} \right]$ đạt được khi $t = 1$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc $72\,{\rm{km/h}}$ thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc $a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

A. $50{\rm{ m}}$.

B. $\frac{{250}}{3}{\rm{ m}}$.

C. $\frac{{200}}{3}{\rm{ m}}$.

D. $\frac{{100}}{3}{\rm{ m}}$.

Lời giải

Vận tốc của ô tô là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} $$ = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right){\rm{dt}}} $$ = - \frac{4}{5}{t^2} + C$.

Ta có $72\,{\rm{km/h}} = 20\,{\rm{m/s}}$. Vì $v\left( 0 \right) = 20$ nên $C = 20$$ \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20$.

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ nên $ - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5$.

Quãng đường cần tìm là $s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)} \,{\rm{dt}}$$ = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5$$ = \frac{{200}}{3}\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)$. Chọn C.

Câu 2

Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi \[x\] là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và \[y\] là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \[y = x\] sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \[y = f\left( x \right)\], biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \[0 \le x \le 100\], biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm \[2005\], đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số

\[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2},0 \le x \le 100\],

trong đó \[x\] được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

a) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến \[30\% \] so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

b) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau từ \[1\] đến \[10\], tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm \[3\] chiếm khoảng \[8,56\% \] tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

c) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm \[2005\] được xác định bởi công thức:

\[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} \].

d) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm \[2005\] đã vượt quá \[2000\].

Xem đáp án

Lời giải

+) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập là: \[f\left( {60} \right) = 27,321529\,\,\left( \% \right)\].

+) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm \[10\% \] số gia đình của Hoa Kỳ.

Tổng thu nhập của \[30\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2,3\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {30} \right) = 8,561476\,\,\left( \% \right)\].

Tổng thu nhập của \[20\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {20} \right) = 5,774409\,\,\,\left( \% \right)\].

\[ \Rightarrow \] Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ \[3\] so với toàn bộ các gia đình là:

\[f\left( {30} \right) - f\left( {20} \right) = 2,787067\,\,\left( \% \right)\].

+) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm \[2005\] là diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị \[y = x\]; \[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2}\] và hai đường thẳng $x = 0;x = 100$.

\[ \Rightarrow S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \].

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta thấy phương trình \[{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x = 0\] có hai nghiệm \[x = a\,;x = b\,\,\left( {a < b} \right)\] thuộc \[\left[ {0\,;100} \right]\].

Xét dấu biểu thức \[g\left( x \right) = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x\] ta được:

Vậy \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^a {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_0^a {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].

Cách 2.

Sử dụng máy tính cầm tay ta được: \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9\].

Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: \[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} = 2059,3131\].

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm $2005$ là:

\[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9 > 2000\].

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.