Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x + 4}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = 3x² – 6x + 4 – m.

Yêu cầu bài toán y' ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

3x² – 6x + 4 – m ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

m ≤ 3x² – 6x + 4, ∀x ∈ (2; +∞)

m ≤ \(\mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\) với g(x) = 3x² – 6x + 4.

Ta có g'(x) = 6x – 6; g'(x) = 0 6x – 6 = 0 x = 1.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≤ 4 thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: m ∈ (−∞; 4] thì hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Đáp án đúng là: C

y = x³ − 3x² +3(m + 2)x + 3m – 2025

Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ y' = 3x² – 6x + 3(m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 > 0{\rm{ }}}\\{9 - 9(m + 2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m \ge - 1{\rm{ }}} \right.} \right.\].

Vậy m ≥ −1 thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Do m ∈ [−10; 10), m ∈ ℤ nên tổng các giá trị nguyên của tham số là 44.