Câu hỏi:
14/01/2025 1,483Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi có cạnh bằng \(2a\) và góc \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), cạnh bên \(AA'\) bằng \(\frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\); \(A'\) cách đều các đỉnh\(A,B,C\). Tính theo \(a\) thể tích của khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Hình học không gian có lời giải !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Tam giác \[ABC\] đều cạnh \(2a\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \[ABC\], khi đó
\(AG = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\left( {2a} \right) \cdot \sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(AA' = A'B = A'C\) nên \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\).Suy ra \(\Delta \,A'AG\) vuông tại \(G\)\( \Rightarrow A'G = \sqrt {{{\left( {\frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = 2a\).
Thể tích cần tìm là \(V = A'G \cdot {S_{ABCD}} = A'G \cdot 2{S_{ABC}}\) \( = 2a \cdot 2\, \cdot \,\frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = 4{a^3}\sqrt 3 \). Chọn A.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
![Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\) có số đo bằng \(30^\circ \), tam giác (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid12-1736864060.png)
Đặt \(AB = x,\left( {x > 0} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right.\], suy ra \(\widehat {A'MA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\)\[ \Rightarrow \widehat {A'MA} = 30^\circ \].Xét \(\Delta A'AM\), có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].
\({S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M \cdot BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4\).
Suy ra \(A'A = AM \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4 \cdot \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2\); \({S_{ABC}} = \frac{{16 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot 4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \). Chọn A.
Lời giải
Ta có: \(AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\).(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích khối chóp cần tìm là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải