50 bài tập Hình học không gian có lời giải

166 người thi tuần này 4.6 1.9 K lượt thi 50 câu hỏi 50 phút

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Góc giữa hai đường thẳng SB và AD bằng góc giữa hai đường thẳng

A. SB và AC.

B. SB và BC.

C. SA và AD.

D. SC và AD.

Lời giải

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\,{\rm{//}}\,BC$. Do đó, $\left( {SB,AD} \right) = \left( {SB,BC} \right)$. Chọn B.

Câu 2

Trong không gian cho mặt phẳng (P) và điểm M. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải

Ta có tính chất: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Chọn B.

Câu 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. (ảnh 1)$

A. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = SD$.

B. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = DC$.

C. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = AD$.

D. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = DB$.

Lời giải

Ta có $\{\begin{cases} A D ⊥ A B (A B C D là hcn) \\ A D ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ (S A B) \Rightarrow d (D, (S A B)) = A D$ . Chọn C.

Câu 4

Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $AA' \bot AB,AA' \bot AC$ và tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AA'$ và $AC$.

a) $\left( {A'B,C'C} \right) = \widehat {AA'B}$.

b) $\left( {A'B,C'C} \right) = 45^\circ $.

c) $\left( {A'C,MB} \right) = \widehat {BAN}$.
d) $\widehat {BMN} \approx 42,6^\circ $.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $A'A{\rm{//}}C'C \Rightarrow \left( {A'B,C'C} \right) = \left( {A'B,A'A} \right) = \widehat {AA'B}$.

Mà $\Delta A'AB$ vuông cân tại \[A\] nên $\widehat {AA'B} = 45^\circ $.

Vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AA'$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của \[\Delta AA'C\].

Do đó, $A'C\,{\rm{//}}\,MN \Rightarrow \left( {A'C,MB} \right) = \left( {MN,MB} \right) = \widehat {BMN}$.

Xét $\Delta MNB$ có: $MB = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},\,MN = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,,\,BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$\cos \widehat {BMN} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {BMN} \approx 50,8^\circ $.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Khi đó:

a) $AD\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, kẻ $AH \bot SB$ tại $H$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$ hay $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. (ảnh 1)$

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, kẻ $AK \bot SD$ tại $K$. (3)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AK$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB,SD$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ nên $AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 $.

Thể tích khối chóp cần tìm là: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}$(đơn vị thể tích).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Câu 6

Người ta cần xây dựng công trình đê để ngăn nước lũ của sông. Mặt cắt của đê được thiết kế với số đo như trong hình vẽ dưới đây.

Tổng thể tích vật liệu cần dùng để xây dựng đoạn đê đó bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng đoạn đê thẳng và dài 100m.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử