Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy và tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a\). Biết tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) và cạnh \(AC = a\sqrt 3 \).

a) \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) với \(H\) là trung điểm của \(AB\).

b) \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = a\sqrt 3 \).

c) \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

d) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\sqrt 2 \), \(AC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Khi đó:

a) \(AD\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\).

b) Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD,AB\) bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

d) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \).

a) \[AC \bot \left( {ABD} \right)\].

d) \(\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = 30^\circ \).

c) Góc nhị diện \[\left[ {A,BC,D} \right]\] có số đo bằng \[87,79^\circ \].

d) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\) bằng \(90^\circ \).

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\), khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) Trong mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\), kẻ \(A'H \bot B'C'\) tại \(H\). Khi đó \(B'C' \bot \left( {AA'H} \right)\).

b) \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = a\).

c) Diện tích đáy của lăng trụ là \({a^2}\sqrt 5 \).

d) Thể tích khối lăng trụ là \({a^3}\sqrt 3 \).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = a\). Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\) và \(\widehat {SCH} = 45^\circ \).

a) \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) \(d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

c) Gọi \(K\) là trung điểm \(CD\). Khi đó \(CD \bot \left( {SHK} \right)\).

d) \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Người ta cần xây dựng công trình đê để ngăn nước lũ của sông. Mặt cắt của đê được thiết kế với số đo như trong hình vẽ dưới đây.

Tổng thể tích vật liệu cần dùng để xây dựng đoạn đê đó bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng đoạn đê thẳng và dài 100m.