Câu hỏi:

14/01/2025 8,563

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

a) Trong mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$, kẻ $A'H \bot B'C'$ tại $H$. Khi đó $B'C' \bot \left( {AA'H} \right)$.

b) $d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = a$.

c) Diện tích đáy của lăng trụ là ${a^2}\sqrt 5 $.

d) Thể tích khối lăng trụ là ${a^3}\sqrt 3 $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Hình học không gian có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong mặt phẳng $\left( {AA'H} \right)$ , kẻ $A'K \bot AH$ tại $K$. (1)

$Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt (ảnh 1)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'H\\B'C' \bot AA'\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right.$.

\[ \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow A'K \bot B'C'\,\,\,(2)\].

Từ (1) và (2) suy ra $A'K \bot \left( {AB'C'} \right)$ hay

$d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'K = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác $A'B'C'$ đều có đường cao $A'H = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.

Tam giác $AA'H$ vuông tại $A'$ có đường cao $A'K$ nên

$\frac{1}{{A'{K^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} \Rightarrow A'A = a{\rm{. }}$

Hai mặt đáy lăng trụ song song với nhau và có khoảng cách là: $d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = a{\rm{. }}$

Diện tích đáy của lăng trụ (đáy là tam giác đều) là: ${S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $.

Thể tích khối lăng trụ là: $V = AA' \cdot {S_{\Delta A'B'C'}} = a \cdot {a^2}\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 $.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$. Biết rằng góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$ có số đo bằng $30^\circ $, tam giác $A'BC$ có diện tích bằng $8$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

A. $8\sqrt 3 $.

B. $8$.

C. $3\sqrt 3 $.

D. $8\sqrt 2 $.

Lời giải

$Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$. Biết rằng góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$ có số đo bằng $30^\circ $, tam giác (ảnh 1)$

Đặt $AB = x,\left( {x > 0} \right)$, gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right.\], suy ra $\widehat {A'MA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$\[ \Rightarrow \widehat {A'MA} = 30^\circ \].

Xét $\Delta A'AM$, có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].

${S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M \cdot BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4$.

Suy ra $A'A = AM \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4 \cdot \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2$; ${S_{ABC}} = \frac{{16 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 $.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot 4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $. Chọn A.

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Khi đó:

a) $AD\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, kẻ $AH \bot SB$ tại $H$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$ hay $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. (ảnh 1)$

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, kẻ $AK \bot SD$ tại $K$. (3)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AK$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB,SD$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ nên $AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 $.

Thể tích khối chóp cần tìm là: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}$(đơn vị thể tích).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.