Câu hỏi:

14/01/2025 126

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = a\). Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\)\(\widehat {SCH} = 45^\circ \).

a) \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) \(d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

c) Gọi \(K\) là trung điểm \(CD\). Khi đó \(CD \bot \left( {SHK} \right)\).

d) \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = a\). Hình chiếu của (ảnh 1)
Kẻ đường cao \(HE\) trong tam giác \(SBH\). (1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SH{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot HE\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(HE \bot \left( {SBC} \right)\).

Suy ra \(d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HE\).

Tam giác \(BCH\) vuông tại \(B\) có: \(CH = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Tam giác \(SCH\) vuông tại \(H\) có: \(\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{CH}} \Rightarrow SH = a\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Tam giác \(SBH\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HE\) nên \(\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}}\).

Suy ra \(HE = \frac{{SH \cdot BH}}{{\sqrt {S{H^2} + B{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2  \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\) Vậy \(d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HE = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vì \(K\) là trung điểm \(CD\) nên \(HK\) là đường trung bình của hình chữ nhật \(ABCD\), từ đó suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD \Rightarrow HK \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot HK}\\{CD \bot SH}\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right)} \right.\).

Kẻ đường cao \(HI\) của tam giác \(SHK\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SK}\\{HI \bot CD\,\,\,\left( {{\rm{do }}CD \bot \left( {SHK} \right),HI \subset \left( {SHK} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow HI \bot \left( {SCD} \right)} \right.\).

Tam giác \(SHK\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HI\) nên

\(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{SH \cdot HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2  \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Vậy \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tứ diện \(SABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\)\(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\),\(N\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên cạnh \(SB\)\(SC\). Khẳng định nào sau đây sai?

Cho tứ diện \(SABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng (ảnh 1)

 

Xem đáp án » 10/01/2025 855

Câu 2:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật tâm \(O\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB\) và \(SD\). Hỏi đường thẳng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật tâm \(O\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (ảnh 1)

 

Xem đáp án » 10/01/2025 637

Câu 3:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Biết \(\widehat {SAD} = \widehat {SCD} = 90^\circ \). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(SB\)\(AC\) bằng bao nhiêu độ?

Xem đáp án » 14/01/2025 633

Câu 4:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có \(AA' \bot AB,AA' \bot AC\) và tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AA'\) và \(AC\).

a) \(\left( {A'B,C'C} \right) = \widehat {AA'B}\).

b) \(\left( {A'B,C'C} \right) = 45^\circ \).

c) \(\left( {A'C,MB} \right) = \widehat {BAN}\).

d) \(\widehat {BMN} \approx 42,6^\circ \).

Xem đáp án » 09/01/2025 445

Câu 5:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\). Góc giữa hai đường thẳng \(SA\)\(CD\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 10/01/2025 440

Câu 6:

Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\) có số đo bằng \(30^\circ \), tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \(8\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

Xem đáp án » 14/01/2025 425

Câu 7:

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,D\). Góc giữa \(SB\)\(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \). Biết rằng \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = 2AD = 2DC = 2a\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

Xem đáp án » 14/01/2025 367

Bình luận


Bình luận