Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a$, $AD = a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $H$ của $AB$ và $\widehat {SCH} = 45^\circ $.

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

c) Gọi $K$ là trung điểm $CD$. Khi đó $CD \bot \left( {SHK} \right)$.

d) $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Hình học không gian có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a$, $AD = a$. Hình chiếu của (ảnh 1)$

Kẻ đường cao $HE$ trong tam giác $SBH$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SH{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot HE$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $HE \bot \left( {SBC} \right)$.

Suy ra $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HE$.

Tam giác $BCH$ vuông tại $B$ có: $CH = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $.

Tam giác $SCH$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{CH}} \Rightarrow SH = a\sqrt 2 {\rm{. }}$

Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$ nên $\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}}$.

Suy ra $HE = \frac{{SH \cdot BH}}{{\sqrt {S{H^2} + B{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$ Vậy $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HE = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Vì $K$ là trung điểm $CD$ nên $HK$ là đường trung bình của hình chữ nhật $ABCD$, từ đó suy ra $HK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD \Rightarrow HK \bot CD$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot HK}\\{CD \bot SH}\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right)} \right.$.

Kẻ đường cao $HI$ của tam giác $SHK$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SK}\\{HI \bot CD\,\,\,\left( {{\rm{do }}CD \bot \left( {SHK} \right),HI \subset \left( {SHK} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow HI \bot \left( {SCD} \right)} \right.$.

Tam giác $SHK$ vuông tại $H$ có đường cao $HI$ nên

$\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{SH \cdot HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$

Vậy $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »