Câu hỏi:

14/01/2025 6,536

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a$, $AD = a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $H$ của $AB$ và $\widehat {SCH} = 45^\circ $.

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

c) Gọi $K$ là trung điểm $CD$. Khi đó $CD \bot \left( {SHK} \right)$.

d) $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Hình học không gian có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a$, $AD = a$. Hình chiếu của (ảnh 1)$

Kẻ đường cao $HE$ trong tam giác $SBH$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SH{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot HE$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $HE \bot \left( {SBC} \right)$.

Suy ra $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HE$.

Tam giác $BCH$ vuông tại $B$ có: $CH = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $.

Tam giác $SCH$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{CH}} \Rightarrow SH = a\sqrt 2 {\rm{. }}$

Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$ nên $\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}}$.

Suy ra $HE = \frac{{SH \cdot BH}}{{\sqrt {S{H^2} + B{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$ Vậy $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HE = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Vì $K$ là trung điểm $CD$ nên $HK$ là đường trung bình của hình chữ nhật $ABCD$, từ đó suy ra $HK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD \Rightarrow HK \bot CD$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot HK}\\{CD \bot SH}\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right)} \right.$.

Kẻ đường cao $HI$ của tam giác $SHK$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SK}\\{HI \bot CD\,\,\,\left( {{\rm{do }}CD \bot \left( {SHK} \right),HI \subset \left( {SHK} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow HI \bot \left( {SCD} \right)} \right.$.

Tam giác $SHK$ vuông tại $H$ có đường cao $HI$ nên

$\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{SH \cdot HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$

Vậy $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$. Biết rằng góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$ có số đo bằng $30^\circ $, tam giác $A'BC$ có diện tích bằng $8$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

A. $8\sqrt 3 $.

B. $8$.

C. $3\sqrt 3 $.

D. $8\sqrt 2 $.

Lời giải

$Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$. Biết rằng góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$ có số đo bằng $30^\circ $, tam giác (ảnh 1)$

Đặt $AB = x,\left( {x > 0} \right)$, gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right.\], suy ra $\widehat {A'MA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$\[ \Rightarrow \widehat {A'MA} = 30^\circ \].

Xét $\Delta A'AM$, có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].

${S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M \cdot BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4$.

Suy ra $A'A = AM \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4 \cdot \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2$; ${S_{ABC}} = \frac{{16 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 $.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot 4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $. Chọn A.

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Khi đó:

a) $AD\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, kẻ $AH \bot SB$ tại $H$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$ hay $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. (ảnh 1)$

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, kẻ $AK \bot SD$ tại $K$. (3)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AK$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB,SD$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ nên $AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 $.

Thể tích khối chóp cần tìm là: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}$(đơn vị thể tích).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.