Câu hỏi:

10/01/2025 6,926

Người ta cần xây dựng công trình đê để ngăn nước lũ của sông. Mặt cắt của đê được thiết kế với số đo như trong hình vẽ dưới đây.

Tổng thể tích vật liệu cần dùng để xây dựng đoạn đê đó bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng đoạn đê thẳng và dài 100m.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Hình học không gian có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chia mặt cắt đoạn đê thành các hình tam giác vuông, hình chữ nhật, hình thang như hình vẽ sau.

Người ta cần xây dựng công trình đê để ngăn nước lũ của sông. Mặt cắt của đê được thiết kế với số đo như (ảnh 2)

Đoạn đê được ghép bởi bốn khối lăng trụ đứng có cùng chiều cao $100{\rm{\;m}}$ và có đáy lần lượt là tam giác vuông $ABC$, hình chữ nhật $ACDI$, các hình thang vuông $DEHI$ và $EFGH$.

Theo giả thiết, ta có:

+ Tam giác vuông $ABC$ có kích thước hai cạnh góc vuông là $9$ m và $6,5$ m.

+ Hình chữ nhật $ACDI$ có hai kích thước là $5$ m và $6,5$ m.

+ Hình thang vuông $DEHI$ có đáy lớn dài $6,5$ m, đáy nhỏ dài $3$ m và chiều cao $4,5$ m.

+ Hình thang vuông $EFGH$ có đáy lớn đài $6$ m, đáy nhỏ dài $1$ m và chiều cao $3$ m.

Thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông $ABC$ bằng:

${V_1} = \left( {\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6,5} \right) \cdot 100 = 2925\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).$

Thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật $ACDI$ bằng:

${V_2} = \left( {5 \cdot 6,5} \right) \cdot 100 = 3\,250\,\,\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).$

Thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông $DEHI$ bằng:

${V_3} = \frac{1}{2}\left( {6,5 + 3} \right) \cdot 4,5 \cdot 100 = 2137,5\,\,\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).$

Thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông $DEHI$ bằng:

${V_4} = \frac{1}{2}\left( {6 + 1} \right) \cdot 3 \cdot 100 = 1050\,\,\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).$

Vậy thể tích vật liệu cần dùng để xây dựng đoạn đê đó bằng:

$V = {V_1} + {V_2} + {V_3} + {V_4} = 2925 + 3250 + 2137,5 + 1050 = 9362,5 \approx 9\,363\,\,\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).$

Đáp án: $9\,363$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$. Biết rằng góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$ có số đo bằng $30^\circ $, tam giác $A'BC$ có diện tích bằng $8$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

A. $8\sqrt 3 $.

B. $8$.

C. $3\sqrt 3 $.

D. $8\sqrt 2 $.

Lời giải

$Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$. Biết rằng góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$ có số đo bằng $30^\circ $, tam giác (ảnh 1)$

Đặt $AB = x,\left( {x > 0} \right)$, gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right.\], suy ra $\widehat {A'MA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,BC,A'} \right]$\[ \Rightarrow \widehat {A'MA} = 30^\circ \].

Xét $\Delta A'AM$, có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].

${S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M \cdot BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4$.

Suy ra $A'A = AM \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4 \cdot \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2$; ${S_{ABC}} = \frac{{16 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 $.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot 4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $. Chọn A.

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Khi đó:

a) $AD\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, kẻ $AH \bot SB$ tại $H$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$ hay $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. (ảnh 1)$

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, kẻ $AK \bot SD$ tại $K$. (3)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AK$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB,SD$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ nên $AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 $.

Thể tích khối chóp cần tìm là: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}$(đơn vị thể tích).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.