Câu hỏi:
14/01/2025 1,888
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = b,AA' = c\).
a) \(AB \bot \left( {ADD'A'} \right)\).
b) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BD'\) bằng: \(\frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
c) Gọi \(I,J\) theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật \(ADD'A',BCC'B'\). Khi đó \(IJ\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\).
d) Khoảng cách hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\) bằng \(2a\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = b,AA' = c\).
a) \(AB \bot \left( {ADD'A'} \right)\).
b) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BD'\) bằng: \(\frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
c) Gọi \(I,J\) theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật \(ADD'A',BCC'B'\). Khi đó \(IJ\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\).
d) Khoảng cách hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\) bằng \(2a\).
Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Hình học không gian có lời giải !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(AB \bot \left( {ADD'A'} \right)\), suy ra \(AB \bot AD'\) hay tam giác \(ABD'\) vuông tại \(A\).
Kẻ đường cao \(AH\) trong tam giác \(ABD'\), suy ra \(d\left( {A,BD'} \right) = AH\).
Tam giác \(ADD'\) vuông tại \(D\) có:
\(AD' = \sqrt {A{D^2} + D{{D'}^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \).Tam giác \(ABD'\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{{D'}^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot AD'}}{{\sqrt {A{B^2} + A{{D'}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Vậy \(d\left( {A,BD'} \right) = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB\,{\rm{//}}\,C'D'}\\{AB = C'D'}\end{array}} \right.\]\( \Rightarrow ABC'D'\) là hình bình hành.
Dễ thấy \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AD'\) và \(BC'\) suy ra \(IJ\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABC'D' \Rightarrow IJ\,{\rm{//}}\,AB\), mà \(AB \bot AD'\) nên \(IJ \bot AD'\). (1)
Ta có: \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \bot B'C \Rightarrow IJ \bot B'C\). (2)
Mặt khác \(IJ\) cắt cả hai đường thẳng \(AD',B'C\). (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(IJ\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\).
Ta có \(IJ = AB = a\). Vậy khoảng cách hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\) bằng \(a\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
![Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\) có số đo bằng \(30^\circ \), tam giác (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid12-1736864060.png)
Đặt \(AB = x,\left( {x > 0} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right.\], suy ra \(\widehat {A'MA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\)\[ \Rightarrow \widehat {A'MA} = 30^\circ \].Xét \(\Delta A'AM\), có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].
\({S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M \cdot BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4\).
Suy ra \(A'A = AM \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4 \cdot \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2\); \({S_{ABC}} = \frac{{16 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot 4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \). Chọn A.
Lời giải
Ta có: \(AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\).(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích khối chóp cần tìm là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải