Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = 120^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BB'\).
a) \(d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
b) \(d\left( {CC',AM} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{12}}\).
c) \(AA' \bot \left( {ABC} \right),AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
d) Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng \(2a\). Khi đó thể tích khối lăng trụ là \({a^3}\sqrt 3 \).
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = 120^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BB'\).
a) \(d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
b) \(d\left( {CC',AM} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{12}}\).
c) \(AA' \bot \left( {ABC} \right),AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
d) Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng \(2a\). Khi đó thể tích khối lăng trụ là \({a^3}\sqrt 3 \).
Câu hỏi trong đề: 50 bài tập Hình học không gian có lời giải !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(CC'\,{\rm{//}}\,BB' \Rightarrow CC'{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\) nên
\(d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H\). (1)
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên
\(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CH \bot AA'\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(CH \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH\).Xét tam giác \(ABC\), có \(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA \cdot CB \cdot \cos 120^\circ = 7{a^2}\)\( \Rightarrow AB = a\sqrt 7 \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C = \frac{1}{2}AB \cdot CH\)
\( \Rightarrow CH = \frac{{CA \cdot CB \cdot \sin 120^\circ }}{{AB}} = \frac{{a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\). Vậy \(d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Ta có \(AM\) và \(CC'\) là hai đường thẳng chéo nhau, mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CC'\,{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)}\\{AM \subset \left( {ABB'A'} \right)}\end{array}} \right.\) nên
\(d\left( {CC',AM} \right) = d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên \(AA' \bot \left( {ABC} \right),AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
Do vậy \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = 2a\).
Khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao \(h = AA' = 2a\), diện tích đáy là:
\(S = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2}a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Thể tích khối lăng trụ là: \(V = Sh = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot 2a = {a^3}\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
![Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\) có số đo bằng \(30^\circ \), tam giác (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid12-1736864060.png)
Đặt \(AB = x,\left( {x > 0} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right.\], suy ra \(\widehat {A'MA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\)\[ \Rightarrow \widehat {A'MA} = 30^\circ \].Xét \(\Delta A'AM\), có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].
\({S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M \cdot BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4\).
Suy ra \(A'A = AM \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4 \cdot \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2\); \({S_{ABC}} = \frac{{16 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot 4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \). Chọn A.
Lời giải
Ta có: \(AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\).(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)
Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích khối chóp cần tìm là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo