Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bằng \(2\sqrt 2 \), cạnh bên \(SA = 4\) (tham khảo hình vẽ).

a) Tọa độ của điểm \(A\) là \(\left( {0;2;0} \right)\).

b) Trọng tâm của tam giác \(SAB\) là \(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

c) Nếu \(E\left( {a;0;b} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho ba điểm \(C,E,G\) thẳng hàng thì \(a \cdot b = \sqrt 3 \).

d) Nếu \(M\left( {0;m;n} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MG + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({m^2} + {n^2} = 1\).

Ta có \(AB = 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow OA = OB = 2\)\( \Rightarrow A\left( {0; - 2;0} \right)\). Ta có \(OB = 2 \Rightarrow B\left( {2;0;0} \right)\).

\(OS = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {16 - 4} = 2\sqrt 3 \Rightarrow S\left( {0;0;2\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra tọa độ của trọng tâm của tam giác \(SAB\) là\(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

Ta có \(C\left( {0;2;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {CE}  = \left( {a; - 2;b} \right)\), \(\overrightarrow {CG} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{8}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

Vì \(C,E,G\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {CE} \) cùng phương với \(\overrightarrow {CG} \)

\( \Rightarrow \frac{{3a}}{2} = \frac{3}{4} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a \cdot b = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Do \(D\) đối xứng với \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên với mọi điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\), ta đều có \(MG + MB = MG + MD\).

Mặt khác, hai điểm \(G\) và \(D\) khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \(MG + MD\) nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm \(G,D,M\) thẳng hàng.

Ta có \(D\left( { - 2;0;0} \right)\), \(\overrightarrow {DM} = \left( {2;m;n} \right),\overrightarrow {DG} = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

Vì \(G,D,M\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {DM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {DG} \)

\( \Rightarrow \frac{3}{4} = - \frac{{3m}}{2} = \frac{{n\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {m^2} + {n^2} = 1\).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.