Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết:
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}\].
A. Dãy số tăng, bị chặn.
B. Dãy số giảm, bị chặn trên.
C. Dãy số tăng, bị chặn trên.
D. Dãy số tăng, bị chặn dưới.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}\]
Xét hiệu:
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}} \right) - \left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} \right){\rm{ }}\]
\[{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}^{\rm{2}}}}}{\rm{ > 0}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Vậy \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ < 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\left( {{\rm{n}} - 1} \right){\rm{n}}}}{\rm{ }}\]
\[{\rm{ = 1 + 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ = 2}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ < 2}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Vậy (un) bị chặn trên.
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ > }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{3}}{\rm{.4}}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}}{\rm{ }}\]
\[{\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ > 0}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Vậy (un) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số (un) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số (un) bị chặn.
Vậy dãy số (un) tăng, bị chặn.
Đáp án cần chọn là: A
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}\]
B. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\]
C. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\sqrt {{\rm{n + 1}}} \]
D. \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\]
Lời giải
Với\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\]ta có:\[{\rm{n}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} \le 1\]
Vậy (un) bị chặn trên.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 2
A. Nếu tồn tại số M > 0 sao cho \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right| \le {\rm{M, }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\] thì (un) là dãy số bị chặn.
B. Nếu tồn tại cặp số M, m và tồn tại giá trị n sao cho \[m \le {u_n} \le M\] thì (un) là dãy số bị chặn.
C. Nếu tồn tại số m sao cho \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \ge {\rm{m}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\] thì (un) là dãy số bị chặn.
D. Nếu tồn tại số M sao cho \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \le {\rm{M}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\] thì (un) là dãy số bị chặn.
Lời giải
Nếu tồn tại số M > 0 sao cho
\[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right| \le {\rm{M, }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\left| {{u_n}} \right| \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^ * } \Leftrightarrow - {\rm{M}} \le {{\rm{u}}_{\rm{n}}} \le {\rm{M}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Vậy (un) là dãy số bị chặn.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3
A. \[{{\rm{S}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\]
B. \[{{\rm{S}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{6}}}\]
C. \[{{\rm{S}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\]
D. \[{{\rm{S}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{12}}}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Không có giá trị của n thoả mãn.
B. 1012.
C. 2023.
D. 2024.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. a > 2
B. \[{\rm{a}} > - \frac{1}{2}\]
C. \[{\rm{a < }} - \frac{1}{2}\]
</>
D. a < 2
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. Dãy (un) bị chặn.
B. Dãy (un) tăng.
C. Dãy (un) giảm.
D. Dãy (un) có \[{{\rm{u}}_{{\rm{30 }}}}{\rm{ = 30}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo