Với giá trị nào của a thì dãy số \[\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)\]với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{an}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 2}}}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\] là dãy số tăng?

Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{a}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ + 2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{na + a}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 1 + 2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{na + a}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{n + 3}}}}\]

Xét hiệu:

\[{u_{n + 1}} - {u_n}{\rm{ = }}\frac{{na + a - 1}}{{n + 3}} - \frac{{na - 1}}{{n + 2}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {na + a - 1} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {na - 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\]

\({\rm{ = }}\frac{{\left( {{n^2}a + na - n + 2na + 2a - 2} \right) - \left( {{n^2}a - n + 3na - 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\({\rm{ = }}\frac{{{n^2}a + na - n + 2na + 2a - 2 - {n^2}a + n - 3na + 3}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{2a + 1}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để \[\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)\]là dãy số tăng thì:

\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}} > 0,\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * } \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{\left( {{\rm{n + 3}}} \right)\left( {{\rm{n + 2}}} \right)}} > 0 \Leftrightarrow 2{\rm{a}} + 1 > 0 \Leftrightarrow {\rm{a}} > - \frac{1}{2}\]Đáp án cần chọn là: B